Условия изчисляват производни
Ако елементарни функции, умножена по произволна константа, а след това на производно от новите функции е също така лесно да се счита:
Като цяло, константа може да бъде взето в знак на деривата. Например:
(2 х 3) = 2 · (х 3) = 2 х 3 х 2 = 6 х 2.
Очевидно е, че елементарните функции могат да се добавят един до друг, умножение, деление - и много повече. Така че няма да има нови функции, имат не съвсем елементарно, но също така и диференцирани според определени правила. Тези правила са обсъдени по-долу.
Производното на сумата и разликата
Нека функция е (х) и г (х), производни, които са известни за нас. Например, можете да вземете на елементарните функции, които са обсъдени по-горе. След това можем да намерим производната на сумата и разликата на тези функции:
По този начин, производно на сумата (разлика) на две функции е равна на сумата (разлика) от производните. Условия могат да бъдат по-дълго. Например, (е + г + Н) '= F' + г "+ H".
Строго погледнато, по алгебра, няма понятие за "изваждане". Налице е концепцията за "отрицателен елемент". Следователно, разликата е - G може да бъде пренаписана като сумата от е + (-1) · г. и след това ще бъде само една формула - производно количество.
Задача. Виж функции деривати: е (х) = х 2 + грях х; г (х) = х 4 + 2 х с 2 - 3.
F функцията (х) - е сумата от два елементарни функции, така че:
F '(х) = (х 2 + грях х)' = (х 2) "+ (син х)" = 2 х + х COS;
По същия начин ние спори за функция ж (х). Само там в продължение на три мандата (от гледна точка на алгебра на)
G '(х) = (х 4 + 2 х с 2 - 3)' = (4 х + 2 х 2 + (-3)) '= (х 4) + (2 х 2) + (3) = 4 х 4 + 3 х + 0 = х 4 · (х 2 + 1).
отговори на:
F '(х) = 2 х + х COS;
G '(х) = 4 х · (х 2 + 1).
производни
Математика - науката за логично, следователно, много хора вярват, че ако на производната на сума, равна на сумата на деривативите, производните работи ударят "> е равна на произведението от производните но вие фигури производни произведения се смята за един напълно различен формула, а именно:.!.
(F · г) '= F' · д + е · г "
Формулата е проста, но често се пренебрегва. Не само учениците, но също така и студенти. Резултатът - грешна задача решение.
Задача. Виж функции деривати: F (х) = х 3 · COS х; г (х) = (х 2 + 7 х - 7) · д х.
е (х) функция е продукт на две елементарни функции, така че е проста:
F '(х) = (х 3 · COS х)' = (х 3) "· защото х + х 3 · (COS X) '= 3 х 2 · COS х + х 3 · (- SIN х) = х 2 · (3cos х - х · грях х)
В функция ж (х) на първия фактор е малко по-сложно, но общата схема остава същата. Очевидно е, че функция г първия фактор (х) е полином и неговото производно - производно количество. В момента има:
G '(х) = ((х 2 + 7 х - 7) · ех)' = (х 2 + 7 х - 7) "· ех + (х 2 + 7 х - 7) · (предишен) '= ( 2 х + 7) · ех + (х 2 + 7 х - 7) · ех = ех · (х + 2 + 7 х 2 + 7 х -7) = (х 2 + 9 х) · ех = х (х + 9) · напр.
отговори на:
F '(х) = х 2 · (3cos х - х · грях х);
G '(х) = х (х + 9) · д х.
Имайте предвид, че последната стъпка на деривата се разлага на фактори. не официално да е необходимо, но повечето производни не са изчислени от себе си, но за да се изследва функцията. Така че, на производната ще бъде равна на нула, то ще стане ясни признаци, и така нататък. За този случай е по-добре да има израз на факторинг.
Производната на частния
Ако има две функции е (х) и г (х), където г (х) ≠ 0 на набор от интерес за нас, можем да дефинираме нова функция Н (х) = е (х) / г (х). За такава функция, също може да се намери производната:
Не е слаб, а? Къде е отрицателен? Защо г 2. Ето как! Това е една от най-сложните формули - без бутилка, че няма да разбере. Затова е по-добре да учат своите конкретни примери.
Задача. Намери производни на функции:
В числителя и знаменателя на всяка фракция са елементарни функции, така че всичко, което трябва - производно на формула Private:
По традиция, разширите числител факторинг - това значително ще опрости отговора:
Производното на съставния функцията
Комплекс функция - не е непременно формула за половин километър дълго. Например, това е достатъчно, за да поеме функцията F (х) = грях х и замени променливата х. речем, 2 х + х LN. Вземете е (х) = грях (х 2 + LN х) - това е сложна функция. Тя също има производна, обаче, го намерите на разгледаните по-горе правила, няма да работи.
Какво да се прави? В такива случаи, това помага за промяна на променливата формула и производно на съставна функция:
F '(х) = F "(т) · т", ако х е заменен с т (х).
Като правило, с разбирането на тази формула, ситуацията е още по-жалко от частния производно. Ето защо, също така е по-добре да обясни конкретните примери, с подробно описание на всяка стъпка.
Задача. Виж функции деривати: е (х) = д 2 х + 3; г (х) = грях (х 2 + LN х)
Забележете, че ако F функция (х), вместо на експресията 2 х + 3 е само х. ние получаваме една елементарна функция е (х) = д х. Следователно, ние правим промяната нека 2 х + 3 = трет. е (х) = F (т) = д т. Търсим комплекс производно на функциите по формулата:
F '(х) = F "(т) · т' = (д т)" · т '= д т · т'
И сега - внимание! Извършване на обратен заместване: т = 2 х + 3. Получават:
F '(х) = д т · т' = д 2 х + 3 + (2 х + 3) '= д 2 х + 2 = 3 · 2 · д 2 х + 3
Сега нека да се справят с функция ж (х). Очевидно е, че трябва да се замени 2 х + х = LN т. В момента има:
G '(х) = G' (т) · т '= (син т) "· Т' = защото т · т '
Контакт заместител: т = 2 х + х LN. След това:
G '(х) = COS (х 2 + LN х) · (х 2 + LN х) "= COS (х 2 + LN х) · (2 х + 1 / х).
Това е! Както може да се види от последната експресията, целият проблем се редуцира до изчисляване на количеството на производното.
отговори на:
F '(х) 2 = · е 2 х + 3;
G '(х) = (2 х + 1 / х) · COS (х 2 + LN х).
Много често в класните си стаи, вместо терминът "производно" Аз използвам думата "бар". Така например, в бара на сумата, равна на размера на ударите. Така че ясно? Е, това е добре.
По този начин, изчисляването на производната е намалена да се отърве от повечето от тези щрихи на разгледаните по-горе правила. Като последен пример, нека се върнем към производно степен с рационален показател:
(X п) '= N · х п - 1
Малко хора знаят, че ролята на п може да послужи за дробно число. Например, корен - а х 0,5. И какво, ако не друго, ще бъде под корена натрупа? Отново се сложна функция - такива конструкции искали да дам на изпитване и изследване.
Задача. Намерете производната на функцията:
За да започнете, ние пренапише корена като мощност с рационален показател:
е (х) = (х 2 + 8 х - 7) 0.5.
Сега ние правим промяната: нека х 2 + х 8-7 = т. Намираме производно с формула:
е · т '= 0,5 · т -0,5 · т' '(х) = F "(т) · т' = (т 0,5).
Осъществяване заместване обратен: т = х 8 + 2 х - 7. Трябва:
F '(х) = 0,5 · (х 2 + 8 х - 7) -0,5 · (х 2 + 8 х - 7) = 0,5 х (2 х + 8) · (х 2 + 8 х - 7) -0.5.
И накрая, ние се върне към корените:
- Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа
