Решение на тригонометрични уравнения
Въз основа на самото име показва, че тригонометрични уравнение - това е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричните функции.
Има така наречените прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: Sinh = а, защото х = а, TG х = а. Нека разгледаме как да се реши тригонометрични уравнения такива. за по-голяма яснота, ние трябва да използва вече познатите тригонометрични кръга.
Всеки тригонометрични уравнение е решен в два етапа: даде уравнението на простата си форма, а след това реши, че толкова просто, тригонометрични уравнения.
Има 7 основни методи, чрез които тригонометрични уравнения са решени.
заместване на метода на смяна променлива
Решаване на уравнение 2cos 2 (х + / 6) - 3sin (/ 3 - х) 1 = 0
Използване на формули задействане получи
2cos 2 (х + / 6) - 3cos (х + / 6) + 1 = 0
Замяна COS (х + / 6) от Y за опростяване и да получат обикновен квадратно уравнение:
Корени чиито y1 = 1, Y 2 = 1/2
Сега иди в обратен ред
Заместник получените стойности на годишна и получаваме две възможности:
X1 = - / 2 + к 6х + / 6 = ± ARccOS 1/2 + K 2
Х2 = ± / 3 - / 6 + к 2Решение на тригонометрични уравнения чрез факторинг
Как да решим уравнението греха х + защото х = 1?
Прехвърлете цялото ляво на дясно беше 0:
грях х + х COS - 1 = 0
Ние използваме тази, разгледана по-горе самоличност, за да се опрости уравнението:
грях х - 2 грях 2 (х / 2) = 0
Ние правим на множители:
2sin (х / 2) * COS (х / 2) - 2 грях 2 (х / 2) = 0
2sin (х / 2) * [COS (х / 2) - SIN (х / 2)] = 0
Ние получи две уравнения
Тази проста тригонометрични уравнение чиито разтвор
X1 = 2 кТова уравнение е хомогенна и може да бъде решен с една трета, което ще бъде обсъдено по-долу.
Разделете уравнение в COS (х / 2) и отново се получат лесно тригонометрични уравнение:
х / 2 = arctg 1 + к
Намаляването на хомогенна уравнение
Уравнението е хомогенен по отношение на синуса и косинуса, ако всички членове по отношение на синус и косинус на същата степен на същия ъгъл. За решаване на уравнението хомогенна, се процедира, както следва:
а) да прехвърли всички свои членове в лявата страна;
б) да вземе всички общи фактори на скобите;
в) се равнява на всички фактори и скоби до 0;
г), получен в скоби хомогенна уравнение по-малка степен, която на свой ред е разделен на синус или косинус в най-висока степен;
г) решаване получената уравнението на TG.
3sin решаване на уравнение х + 2 грях х 4 • х + COS 5 защото 2 х = 2
Използвайки формула греха 2 х + защото 2 х = 1 и се отървете от две отворени дясно:
3sin 2 х + 4 • грях х защото х + 5 COS х = 2sin 2 х + 2cos 2 х
грях 2 х + 4 • грях х защото х + 3 защото 2 х = 0
2 TG TG х + 4, х + 3 = 0
Сменете TG х до у и да получите квадратно уравнение:
2 у + 4Y 3 = 0, чиито корени y1 = 1, Y 2 = 3
Следователно ние откриваме двата разтвора на оригиналното уравнение:
Х2 = arctg 3 + к
Разтворът от уравнения, чрез преминаване към половин ъгъл
Решаване на уравнение 3sin х - х 5cos = 7
6sin (х / 2) * COS (х / 2) - 5cos 2 (х / 2) + 5sin 2 (х / 2) = 7sin 2 (х / 2) + 7cos 2 (х / 2)
Prerenosim всички наляво:
2sin 2 (х / 2) - 6sin (х / 2) * COS (х / 2) + 12cos 2 (х / 2) = 0
TG 2 (х / 2) - 3tg (х / 2) + 6 = 0
Е, след като вече е установен модел ...Въведение спомагателни ъгъл
За да се вземе предвид уравнение от вида: грях х + б COS х = с,
където A, B, C - някои произволни коефициенти и х - неизвестен.
И двете страни на разделена на:
Сега уравнение коефициенти съгласно тригонометрични формули са свойства греха и защото, а именно: тяхното модул на не повече от 1 и сумата от квадратите = 1. тях Означаваме съответно като COS и Син, където - това е така наречената спомагателна ъгъл. Тогава уравнението е:
защото * грях х + грях * защото х = C
Разтворът на това уравнение е проста тригонометрични
х = (-1) к * arcsin С - + к, където
Трябва да се отбележи, че определянето на защото и грях са взаимозаменяеми.
Решете 3x уравнение грях - защото 3x = 1
В това уравнение, коефициентите:
а =, б = -1, така че да раздели двете страни с 2 =
(/ 2) * грях 3x - (1/2) COS 3x = 1/2
COS (/ 6) * грях 3x - SIN (/ 6) * защото 3x = 1/2
х = (-1) к * / 18 + / + 18 K / 3Покръстване на продукт сума
Ето, ние просто ще използва формулата тригонометрични
Решаване на уравнение 2 грях х * греха 3x = защото 4x
Трансформирайте отляво в размер на:
защото 4x - защото 8x = защото 4x
Ние получаваме просто уравнение:
универсален заместване
За решаване на уравнение тригонометрични 3sin х - 4cos х = 3
Има 2 случая:
- х (2k + 1),
След това, с помощта на тригонометричните формули, получаваме:
3 [(2tg (х / 2)) / (1 + TG 2 (х / 2)] - 4 - [(1 TG 2 (х / 2)) / (1 + TG 2 (х / 2)] = 3
6TG (х / 2) - 4 + 4tg 2 (х / 2) = 3 + 3tg 2 (х / 2)
TG 2 (х / 2) + 6TG (х / 2) - 7 = 0
Осъществяване замяна TG (х / 2) до получаване на у и квадратното уравнение:
чиито корени y1 = -7, Y2 = 1
Ние се върна и да получите две прости уравнения:
X1 = -2arctg 7 + к 2
след 3sin [(2k 1)] - 4cos [(2k + 1)] = 4 март
Получаваме - решението е само първото условие.
Ние приветстваме всички ваши въпроси.
За мен, Синиш и уют - това е една тъмна гора, която най-вероятно никога няма да бъде в състояние да се преодолее. Въпреки че понякога изглежда, че дори не знам как да се реши тригонометрични уравнения. Опитвам се отново, за да прочетете статията, за да разберете.
И все пак решава тригонометрични уравнения по метода на смяна е много по-трудно, отколкото да се факторинг. Но въвеждането на подкрепа ъгъл е твърде фантастично за моето ниво на студент.
Предпочитам просто да решим тригонометрични уравнения метод за факторинг.
И все пак понякога се използва следния метод на хомогенна подравняването. Всички други възможности, как да се реши тригонометрични уравнения, все още не са напълно изяснени.
В кои моменти от живота могат да бъдат полезни тригонометрия? И аз се чудя, има ли по-опростени нататъшни решения на тригонометрични уравнения? Бих казал, че за начинаещи или "манекени"?
Четох за Синиш и уют и осъзнах, че от ученическите си години не е толкова много, и всичко се промени. Тъй като по това време по същия начин всичко се оказа, и сега точно същата "песента". За решаване на тригонометрични уравнения трябва да по време на сделката добре.
Защо trigometricheskoe решение трябва да бъде разделена само на два етапа, и не повече? Би било интересно, все още някак си по-различна всички разделно и да реши не само на някои стандарт, който най-вероятно можете да промените.
Не мога да разбера смисъла на първия пример, изглежда са намерили отговор и след това замени, както е посочено по обратния начин. Защо направи това? И така, какво се промени, за да има все още трябва да доведе до решение?!
Моля, кажете ми може да има програма, която автоматично решаване на тези уравнения ще бъдат.