Защо минус от минус дава плюс

1) Защо минус умножена по минус едно е равно на едно плюс едно?

2) Защо е минус едно, умножен по плюс едно е равно на минус едно?

Врагът на моя враг - моят приятел

Най-лесният начин да се отговори: "Защото това са правилата на действие на отрицателните числа." Правилата, които се учат в училище и да кандидатстват за живот. Въпреки това, учебниците не обясняват защо е тези правила. Най-напред се опита да го разбера на базата на средната аритметична на историята развитие, и след това да отговори на този въпрос от гледна точка на съвременната математика.

Много отдавна, хората са били известни само на естествени числа 1, 2, 3. Те са били използвани за броене на посуда, извличане, врагове и т.н. Но самите числа са доста безполезно - трябва да знаете как да се справят с тях ... Добавяне ясно и разбираемо за една и съща сума на две естествени числа - също естествено число (математик бих казал, че множеството на естествените числа е затворен в рамките на операцията на допълнение). Умножение - е, всъщност, една и съща Освен това, ако говорим за естествените числа. В живота, ние често се направи на дейностите, свързани с тези две операции (например, когато пазарувате, ние добавяме и умножение), и това е странно да се мисли, че нашите предци тях се сблъскват най-малко - събиране и умножение са усвоили от човечеството за дълго време. И често трябва да споделят някои стойности от друга, но резултатите не винаги са изразени чрез естествено число - така че има дробни числа.

Без да се приспаднат, разбира се, също не може да се направи. Но на практика, ние обикновено се изважда по-голям брой по-малки, и не е необходимо да се използват отрицателни числа. (Ако имам 5 от бонбони и аз ще дам на сестра ми 3, а след това ще остана 5 - 3 = 2 бонбони, но и да я дам 7 бонбони аз изобщо желание не мога.) Това може да обясни защо хората отдавна използват отрицателни числа.

Индийските документи отрицателните числа се появяват от VII век преди новата ера. Китайски, очевидно започва да ги използва малко по-рано. Те са били използвани за отчитане на дълг или за междинни изчисления за опростяване на решаването на уравнения - това е просто един инструмент, за да се получи положителен отговор. Фактът, че отрицателните числа, за разлика от положителните, не изразяват съществуването на който и да е факт, предизвика силно недоверие. Хората буквално се избягват отрицателни числа, ако получи отрицателен отговор на проблем, който смята, че няма отговор на всички. Това недоверие се поддържа в продължение на дълъг период от време, а дори и Декарт - един от "учредителите" на съвременната математика - ги нарича "фалшив" (в XVII век!).

Да вземем например уравнението 7x - 17 = 2x - 2. Това може да бъде решен, както следва: премести членовете на неизвестното от лявата страна, а останалата част - в дясно, можете да получите 7x - 2x = 17 - 2. 5x = 15. х = 3. В този решение, което дори не съм срещал отрицателните числа.

Но това е възможно да се направи случайно по друг начин: да прехвърли условия с непознатото от дясната страна и да получите 2-17 = 2x - 7x. (-15) = (-5) х. За да намерите неизвестното, което трябва да се разделят един от друг номер отрицателен: х = (-15) / (- 5). Но верният отговор е известен и остава да се заключи, че (-15) / (- 5) = 3.

Това показва този прост пример? На първо място, става ясно, логиката, която определя правилата за действие на отрицателните числа: резултатите от тези действия трябва да съвпадат с отговорите, които са получени по друг начин, без отрицателни числа. На второ място, което позволява използване на отрицателни числа, ние се отърве от досадната (ако уравнението ще бъде по-сложно, с голям брой думи) за търсене на решения, в който всички действия се извършват само от естествени числа. Освен това, вече не можем да мислим всеки път за смислеността на преобразуваните стойности - и това е стъпка към превръщането на математиката в абстрактна наука.

Екшън Правилник за отрицателни числа са се образували веднага, но се превръща в обобщение на многобройните примери, които са възникнали в работата с приложения. Като цяло, развитието на математиката може да бъде разделен на етапи: всеки следващ етап е различен от предишния ново ниво на абстракция в изследването на обекти. Така че, в XIX век математиците осъзнаха, че числа и полиноми, за цялата си външна несходство, имат много общо: и двете тези, а други може да събира, изважда и се размножават. Тези операции са обект на същите закони - както в случая с номера, както и в случай на полиномите. Но разделението на числа с друг, за да доведе отново получи числа, това не винаги е възможно. Същото нещо с полиноми.

После открих друг набор от математически обекти, върху които можете да извършвате тези операции: формална власт серия, непрекъснатост. И накрая, трябва да се разбира, че ако се изучава свойствата на самите операции, тогава резултатите могат да бъдат приложени към всичките тези набори от обекти (такъв подход е характерен за цялата съвременна математика).

В резултат на това ново понятие: пръстена. Това е просто набор от елементи, както и действията, които могат да се извършват по тях. Фундаментални тук са само правила (наричани аксиоми), които са обект на действието, а не естеството на елементи от комплекта (тук е, едно ново ниво на абстракция!). За да се подчертае това, което е важно, е структурата, която настъпва след прилагане на аксиоми математика кажа на ринга на цели числа, пръстенът на полиноми и др Въз основа на аксиомите могат да показват на другите качества на пръстените ...

Ние формулират аксиоми пръстени (които, разбира се, подобно на правилата за действие с цели числа), а след това да се окаже, че във всеки пръстен, когато умножена минус до плюс минус завои.

Пръстен е набор с две бинарни операции (т.е. във всяка операция участват два члена на пръстена ..), който традиционно се нарича събиране и умножение, както и на следните аксиоми:

• Прибавянето се подчинява на комутативен пръстенни елементи (А + В = B + А за всеки елементи А и В) и асоциативен (A + (В + С) = (А + В) + C) закони; пръстенът има специален елемент 0 (неутрален елемент на добавяне), така че A + 0 = А. и всеки елемент има обратния елемент (посочена (-а)), че А + (-а) = 0;
• умножение подчинява асоциативен практика: A · (В · С) = (А · В) · С;
• Добавянето и умножение са свързани правила такива скоби оповестяване: (А + В) · С = А · C + B · С и · (В + С) = A · B + A · С

Имайте предвид, че на ринга, в най-общ дизайн, не се нуждаят от умножение commutativity нито неговата обратимост (т.е., споделяне не винаги е възможно ..), съществуването на аудио единици - неутрален елемент за умножение. Ако въведете тези аксиоми, получаваме другите алгебрични структури, но те ще бъдат истински всички теореми оказаха за пръстени.

Ние сега се докаже, че за всички нейни елементи А и Б пръстени произволна десни, от една страна, (-A) · B = - (A · B). и второ (- (- A)) = А. От това е лесно твърдения за единиците: (-1) · 1 = - (1 х 1) = 1 и (-1) + (-1) = - ((-1) · 1) = - (- 1) = 1.

За да направите това, трябва да се установят някои факти. Ние първо да докаже, че може да има само един противоположен всеки елемент. Всъщност, нека А елемент има две противоположни: B и C. Това означава, A + B = 0 = A + C. Помислете сумата от А + В + С помощта на асоциативната и комутативен закон и имуществото на нула, ние откриваме, че с една страна, сумата е в: в = B + 0 = B + (а + в) = а + в + с от друга страна, това е C: A + B + C = (а + в) + с = 0 + С = С След това, В = С

Сега се отбележи, че А. и (- (- A)) са противоположни една и съща елемент (-а). така че те трябва да бъдат равни.

За да математически строг, обясни защо все още 0 · В = 0 за всеки елемент Б. В действителност, 0 · В = (0 + 0) B = 0 ° B + 0 · Б. Това означава, че добавянето на 0 · B не се променя сумата. Така че този продукт е нула.

А фактът, че пръстенът е точно една нула (защото аксиоми се казва, че такъв елемент съществува, но нищо не се казва за своята уникалност!), Оставяме на читателя като просто упражнение.