Всички елементарна математика - Проучване гид - Геометрия - планиметрия - Триъгълник
Триъгълник. Остроъгълен, тъп и правоъгълен триъгълник.
Краката и хипотенузата. Равнобедрен и равностранен триъгълник.
Основните свойства на триъгълници. Сборът от ъглите на триъгълник.
Външният ъгъл на триъгълника. Признаци на равенство на триъгълници.
Признаци на равенство на правоъгълен триъгълник.
Забележителни линии и точки на триъгълника: височината, медианата,
ъглополовяща, медиана д вертикалите Ортоцентър,
център на тежестта център на описаните окръжности, вписан кръг център.
Питагорова теорема. Съотношение в произволен триъгълник.
Триъгълник - многоъгълник с три страни (или три ъгъла). страна на триъгълника често обозначен с малки букви, които съответстват на главни букви, указващи противоположните върховете.
Ако всичките три ъгли са остри (Фигура 20), е малък правоъгълен триъгълник. Ако един от ъглите е прав (С, Фигура 21), след това е правоъгълен триъгълник; Страна А. б. образува прав ъгъл, наречен крака; страна С. Срещу десен ъгъл се нарича хипотенузата. Ако един от ъглите е тъп (B, Фигура 22), е тъп триъгълник.
ABC триъгълник (Фигура 23) - равнобедрен. ако две от нейните страни са равни (а = С); равните страни се наричат странични. третата страна се нарича триъгълник база. ABC триъгълник (Фигура 24) - равностранен. ако всички страни са равни (А = В = С). В най-общия случай (а ≠ б ≠ в) имат разностранен триъгълник.
Основни свойства treugolnikov.V всеки триъгълник:
1. Срещу повечето страни е по-голям ъгъл, и обратно.
2. срещу равни страни са равни ъгли, и обратно.
По-специално, всички ъгли на равностранен триъгълник са равни.
3. Сумата на ъглите на триъгълник е 180 º.
Последните две качества го следва, че всеки ъгъл на равностранен
триъгълник е 60 º.
4. Продължаването на една от страните на триъгълник (AC. Фигура 25), ние получаваме външен
ъгъл BCD. Външният ъгъл на триъгълника е равна на сумата от вътрешни ъгли,
които не са свързани с него. BCD = A + B.
5. Lyubayastorona триъгълник е по-малко от сумата на другите две страни и повече
разликата им (а б - С; б а - С; в а - Ь).
Признаци на равенство на триъгълници.
В триъгълници са равни, ако те са равни на:
а) две страни и ъгъл между тях;
б) два ъгъла и съседната страна;
Признаци на равенство на правоъгълен триъгълник.
А VA-Ъгловата триъгълници са еднакви, ако едно от следните условия:
1) са равни на крака;
2) един катет и хипотенузата на триъгълника са равни катет и хипотенузата на друга;
3) хипотенуза и малък ъгъл на триъгълника и хипотенузата е равна на остър ъгъл на друга;
4) и крака в съседство с остър ъгъл на триъгълника са равни на крака и съседна малък ъгъл на друга;
5) и противоположната катет остър ъгъл на триъгълника са равни на един крак и срещу малък ъгъл на друга.
Забележителни линии и точки на триъгълник.
Височината на триъгълника - е перпендикулярно от всеки връх на противоположната страна (или продължаване). Тази страна се нарича основата на триъгълника. Три височина триъгълник винаги peresekayutsyav една точка. нарича ортоцентър на триъгълника. Ортоцентър остра триъгълник (точка О. Фигура 26) се намира във вътрешността на триъгълника, ортоцентър и тъп триъгълник (точка О. ФИГУРА 27) - извън; Ортоцентър правоъгълен триъгълник съвпада с връх прав ъгъл.
Медиана - сегмент. свързване на всеки връх на триъгълника със средата на противоположната триъгълник storony.Tri Медианата на (.. АД BE CF. fig.28) се пресичат в една точка О. винаги се намира във вътрешността на триъгълника и централната си точка tyazhesti.Eta разделя всеки средната в съотношение 2: 1 считано от началото.
Ъглополовяща - сегмент от ъглополовящата от върха до пресичането с противоположния storonoy.Tri триъгълник ъглополовящата (AD BE CF. ФИГУРА 29 ..) се пресичат в една точка O винаги се намира във вътрешността на триъгълника и е в центъра на вписан кръг (виж "Вписан секция. и ограничена полигони ").
Ъглополовяща разделя на противоположната страна на части пропорционални на съседни страни; например, на фигура 29 AE. CE = AB. Преди новата ера.
Медианата перпендикулярна - е перпендикуляра съставен от средната точка на сегмента (странични). Три медиана вертикалите на триъгълника ABC (... КО MO NO фиг.30) се пресичат в точка О, които tsentromopisannogo кръг (точка К. М. N - центъра на триъгълник ABC страни).
В остроъгълен триъгълник, този въпрос се крие във вътрешността на триъгълника; в тъп - извън; в дясно - в средата на хипотенузата. Ортоцентър, център на тежестта, център на окръжност и вписан кръг център съвпада само в равностранен триъгълник.
Теорема Pifagora.V правоъгълен триъгълник хипотенузата квадрат дължина, равна на сбора от квадратите на дължините на краката.
Доказателството за питагорова теорема е видно от Fig.31. Помислете правоъгълен триъгълник ABC с крака на. б и хипотенуза в.
Ние построи квадрат AKMB. Използването на AB като страната на хипотенуза. След това ние продължаваме страна на правоъгълен триъгълник ABC, така че да се получи квадрат CDEF. страна на който е равна на + б. Сега е ясно, че квадратни CDEF е (а + б) 2. От друга страна, тази област е сумата от площите на четири правоъгълни триъгълници и квадратен AKMB. това е
и най-накрая имаме:
Съотношение в произволен триъгълник.
В най-общия случай (за произволен триъгълник), ние имаме: