Височината на триъгълника

Височината на триъгълници от различни видове

Височината на триъгълника - перпендикуляра. спада от върха на триъгълника на противоположната страна (по-точно, по линията съдържащ противоположната страна). В зависимост от височината на тип триъгълник може да се съдържа в триъгълника (за остроъгълен триъгълник) съвпада с неговата страна (което е на крака на правоъгълен триъгълник) или място извън триъгълника в тъпоъгълен триъгълник.

Свойства на пресечните точки на трите височини на триъгълника (ортоцентър)

(За доказателство за самоличност трябва да използвате формули

Като пресечна точка E трябва да вземат две височини триъгълник.)

• Последното твърдение е следствие от теореми водни триъгълник върховете (предна и задна) [1]

• Ортоцентър isogonally конюгат център на описаните окръжности.
• Ортоцентър се намира на една и съща линия с центърът на тежестта. центъра на окръжност кръг и кръг център на девет точки (вж. Ойлер линия).
• Ортоцентър на остър триъгълник е център на окръжност вписана в неговия ortotreugolnik.
• кръга на център описано за триъгълник е ортоцентър на триъгълник с върха на средите на страните на триъгълника. Последно триъгълник се нарича триъгълник добавя към първия триъгълник.
• Последното свойство може да се заяви като: кръга на център описано за триъгълник е ортоцентър на триъгълник допълнително.
• Насочете симетричен триъгълник Ортоцентър за страните му лежат на окръжност.
• Точка симетрично по отношение на ортоцентър на триъгълник средите на страните, също на базата на описаните окръжности и съвпадат с точките диаметрално противоположни съответните върховете.
• Ако G - описан ΔABC център кръг, О Н → = О А → + O B → + O C →> => +> + >>.
  • | О Н | 9 R = 2 - (2 + 2 + б в 2) - (а ^ ^ + B + C ^) >>>. където R - радиусът на кръга; а. б. C - дължината на страните на триъгълника.
• Разстоянието от Ортоцентър на триъгълник връх до два пъти разстоянието от центъра на окръжност кръг на противоположната страна.
• Всеки сегмент съставен от ортоцентър до пресечната точка с описаните окръжности винаги е кратно на кръга Ойлер наполовина. Ортоцентър е център на хомотетия на тези два кръга.







• Хамилтън теорема. Три линейни сегменти, свързващи ортоцентър на малък триъгълник с върха го разделят на три триъгълници със същия Ойлер кръг (кръг от девет точки), първоначалната остра триъгълник.
• Разследване Хамилтън теорема.
  • Три линейни сегменти, свързващи точките с ортоцентър на остър триъгълник, това се разделят на три Хамилтън триъгълник. като равна радиуси на кръгове описани.
  • Радиусите на окръжностите, описани от Хамилтън три триъгълници са равни на радиуса на кръга, ограничена за първоначалната остра триъгълник.
• В остроъгълен триъгълник, ортоцентър се намира във вътрешността на триъгълника; в тъп - е триъгълник; в дясно - до върха на правия ъгъл.

Имоти на равнобедрен триъгълник височини

• Ако двамата са равни на височината на триъгълника, триъгълникът - равнобедрен (теорема на Щайнер - Lemus), а третият е на височината на двете медианата и ъглополовящата на ъгъла, от който става въпрос.
• От друга страна, две височини са равни в равностранен триъгълник, а третият е на височината на двете медианата и ъглополовящата.
• В равностранен триъгълник трите височини са равни.

Основни свойства на височините на триъгълник

• височини бази образуват така наречената ortotreugolnik. Тя има своите свойства.
• Ortotreugolnika описано за кръга - кръг на Ойлер. На този кръг и от трите страни на триъгълника и средата на трите средни трите сегмента се присъединяват ортоцентър от върховете на триъгълника.
• Друга формулировка на най-новите функции:
  • теорема Ойлер за девет точки на кръг. Бази три височини произволен триъгълник, средната три от неговите страни (основава вътрешните медианите) и трите средни сегменти, свързващи точките с ортоцентър. всички лежат на една и съща обиколка (на обиколка от девет точки).
• Теорема. Във всеки триъгълник, сегментът свързване на основата на две височини на триъгълник, триъгълник намалява по този начин.
• Теорема. В сегмента на триъгълник, свързваща два триъгълник база височини, които се намират от двете страни, трета страна антипаралелен, с която тя няма общи точки. Две от своя край, както и чрез два върха на споменатата трета страна, винаги е възможно да се направи кръг.

Други свойства на височините на триъгълник

• Ако триъгълника е гъвкав (разностранен), вътрешната ъглополовяща. Извършеният от всеки възел се намира между вътрешната и медианата, проведено от една и съща височина връх.
• Триъгълник Височина isogonally конюгат диаметър (радиус) на описаните окръжности. съставен от един и същи връх.
• В остроъгълен триъгълник, височина два подобни триъгълници отрязани от него.
• В разгара на правоъгълен триъгълник. съставен от върха на правия ъгъл. тя се разделя на два триъгълника, подобни на оригинала.

Имоти минимална височина на триъгълник

Минималната височина на триъгълник, има много екстремни свойства. Например:

• Минимална ортогонална проекция на триъгълник по линиите, разположени в равнината на триъгълник е с дължина, равна на по-ниската от неговата височина.
• Минимална прав участък в една равнина, през която можете да плъзнете непреклонен триъгълна плоча трябва да е с дължина, равна на по-малката от височините на плаката.
• В непрекъснато движение на две точки от периметъра на триъгълника един към друг, максималното разстояние между тях по време на движение от първата до втората среща не може да бъде по-малко от дължината на най-малките височини триъгълник.
• Минималната височина на триъгълник винаги минава през вътрешността на триъгълника.

Теорема за височината на правоъгълен триъгълник

Ако височината на правоъгълен триъгълник ABC, за дължина на час. Извършеният от върха на десния ъгъл разделя хипотенуза дължина С до дължина m и п. съответстващ катет б и. след това следните равенства са верни:

А теорема на прогнозите