В неопределен интеграл 1

Начало | За нас | обратна връзка

Ние започваме изучаването на темата "неопределен интеграл". и анализира в детайли най-простите примери за решения (не съвсем) интеграли. Както обикновено, ние ще се ограничим до минимум на теория, която е в много учебници, нашата задача - да се научат как да се реши интеграли.

Какво трябва да знаете за успешното овладяване на материала? За да се справи с интегрално смятане, би трябвало да можете да намерите производни, поне на средно ниво. Не е излишно ще изпитате, ако сте зад няколко десетки, но по-добре - сто намери свои собствени производни. Най-малко не е нужно да се постави в задънена улица работа върху диференцирането на най-простите и най-често срещаните функции.

Тя ще изглежда, и тук всички производни, ако се споменава в статията продължава интеграли. И тук е нещо. Факт е, че подреждането производни и намиране неопределен интеграли (диференциация и интеграция) - две взаимно обратен действие. като допълнение / изваждане и умножение / деление. По този начин, без уменията и опита за намиране не деривати за съжаление не по-нататък да продължим напред.

В тази връзка, ние се нуждаем от следните методически материали: Таблица Таблица производни и интеграли.

Каква е сложността на изучаването на неопределени интеграли? Ако производни строги правила за разграничаване 5 таблицата на деривати и съвсем ясно, последователност от действия, интегралите на всички останали. Има десетки методи и техники за интеграция. И, ако в процеса на интеграция първоначално бе избран неправилно (т.е., не знаете как да се справят с), а след това на интеграл може да "отрежат" буквално ден и нощ, като истински пъзел, опитвайки се да забележите различни техники и трикове. Някои от тях дори като него.

Между другото, ние често чува от студенти (не хуманитарни специалности) становища, като например: "Никога не съм имал никакъв интерес за решаване на лимит или производно, но интеграли - е друг въпрос, това е забавно, винаги има желание да" хакне "сложна интегрална" , Стоп. Достатъчно черен хумор, отидете на този много неопределени интеграли.

По този начин, ние започваме с един прост. Виж таблицата с интеграли. Както и в деривати, ние отбелязваме няколко правила за интеграция и таблица на интеграли на някои елементарни функции. Всяко табличен съставна (и обикновено всеки неопределен неразделна) е от вида:

Щом разберем нотация и условия:

- подинтегрален (написани с "S" писмо).

- икона Диференциална. Какво е това, ние ще разгледаме най-скоро време. Основното нещо е, че записването на интеграл и в решенията, важно е да не загубим тази икона. Забележителни недостатък е.

- подинтегрален или "пълнеж" на интеграла.

- набор от примитиви на функции. Няма нужда да се претоварват условията са най-важното нещо във всеки неопределен интеграл се добавя константа до отговора.

Решете неопределен интеграл - което означава, naytimnozhestvo примитиви на функциите на даден подинтегрален, като се използват някои правила, трикове и маса.

За пореден път, погледнете записа:

Нека да разгледаме таблица на интеграли.

Какво става? Лява страни ние се превръщат в други функции.

Нека да опростим определение:

Решете неопределен интеграл - това означава да го превърне в неопределено (до постоянна) функция, с помощта на някои правила, трикове и маса.

Вземете, например, табличен интеграл. Какво се случи? Символичен нотация се превърна в набор от примитиви на функции.

Както и в случая на деривати, за да се научат как да се намери интеграли, не е необходимо да са наясно с това, което е неразделна част или примитивна функция от теоретична гледна точка. Просто извършва превръщането на определени формални правила. Така че, в случай, че не е необходимо да се разбере защо той става неразделна част. Можете да вземете този и други формули за даденост. Всички използват електричество, но малцина се замислят, тъй като има по жицата, електроните се движат.

Тъй като диференциация и интеграция - обратната операция, че за всяко примитивно, че naydenapravilno, както следва:

С други думи, ако ние диференцират правилния отговор, вие трябва да получите оригиналния подинтегрален.

Да се ​​върнем към една и съща маса неразделна.

Проверете валидността на формулата. Ние приемаме производната на дясната ръка:

- това е оригиналната подинтегрален.

Тук, между другото, стана ясно, защо функцията винаги се дължи на константа. Когато разграничаване постоянно винаги става нула.

Решете неопределен интеграл - това означава намирането mnozhestvovseh примитиви, а не всяка една функция. В този пример, маса. , , И така нататък -.. Всички тези функции са решение на интеграла. Един безкраен брой решения, така че напишете накратко:

По този начин, всеки неопределен интеграл е достатъчно лесно да се провери. Това е някаква компенсация за големия брой различни видове интеграли.

Продължаваме да разгледа конкретни примери. Започваме, като в проучването на деривата, с интегрирането на двете правила:

- константа C може (и трябва) да се вземат извън неразделна знака.

- интеграл от сумата (разлика) на две функции е сума (разлика) на двете интеграли. Това правило важи и за произволен брой условия.

Както можете да видите, правилата по принцип същите като за производните. Понякога по-нататък неразделна линейност свойства.

Намерете неопределен интеграл.

Решение: Това е по-удобно да го трансформирате като.

(1) Прилагането на правилото. На забравяйте да си запишете иконата на диференциално DX по всяка една част. Защо при всеки? dx- е пълен множител. Ако детайл на боята, първата стъпка трябва да бъде написано, както следва:

(2) Съгласно правилото прави всички константите на интегралната знаци. Моля, имайте предвид, че в последния мандат Tg 5 - е постоянна, тя също ще бъде показана.

Също така на този етап, ние подготвяме корените и степента на интеграция. По същия начин, както в диференциацията, корените трябва да бъдат представени под формата. Корени и степен, които се намират в знаменателя - да се движат нагоре.

Забележка: за разлика от производна, интеграл корени не винаги трябва да водят до формата и степента на пренос-нагоре.

За пример - тя е готова табличен интеграл, която вече се брои до вас, и не е необходимо всички хитър китайски vrodesovershenno на. По подобен начин: - тя също е неразделна маса, няма точка представляват малка част от формата. Внимателно проучване на масата!

(3) Всички масата за интеграли ние. Ние извършваме превръщането използване на масата, като се използва формулата :. и

за функцията на мощност -.

Трябва да се отбележи, че в табличен вид неразделна - това е специален случай на формула за експоненциални функции.

Постоянният C е достатъчно да се добави по един път в края на словото

(И да не ги слагам след всеки от интеграл).

(4) Напишете резултата в по-компактна форма, когато всички степени на видове

отново във формата на корени и степента с отрицателен нулиране обратно към знаменател.

Проверете. С цел да се валидира получената отговорът да се разграничат:

Вземете източник подинтегрален. т. е. на интеграл намери правилно. От тогава те танцуваха и обратно. Е, когато историята завършва с интеграла точно.

От време на време намери малко по-различен подход към проверка на неопределен интеграл, се приема, ако не производно на отговора, а разлика:

В резултат на това ние не сме подинтегрален и подинтегрален.

Не се страхувайте от разликата в концепцията.

Диференциална - това производно умножена по DX.

Въпреки това, ние не сме важни теоретични тънкости, както и че тази разлика да се прави по-нататък. Диференциална описан, както следва: D отстрани иконата отдясно на лентата на скоба разположена в края на експресията атрибут DX фактор:

Вземете източник подинтегрален. т.е. интеграла намери правилно.

Както можете да видите, за разлика се свежда до намиране на деривата. Вторият начин да се провери поне любимата ми, тъй като трябва да се направи допълнително големи скоби и плъзгане differentsialadx докато иконата на сканиране. Въпреки че е по-правилно, или "твърда" или нещо подобно.

В действителност, това е възможно да се мълчи за начина на повторно изпитване. Това не е в начина, както и че сме се научили да се отвори диференциал. Отново.

Диференциална описан, както следва:

1) д премахване икона;

2) правото на комплекта скоба бар (наименование на производно);

3) в края на експресията атрибут DX множител.

Не забравяйте това. Смятан рецепция имаме нужда от много скоро.

Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.

Това е един пример за собствените си решения. Отговор и цялостно решение до края на урока.

Когато намерите неопределен интеграл, тогава винаги се опитваме да правим проверка. Нещо повече, за това е чудесна възможност. Не всички видове проблеми по висша математика присъстват в тази гледна точка. Няма значение, че често е в проверката на контролни задачи не се изисква, то никой и нищо не пречи да се харчат за проект. Изключение може да се направи само тогава, когато няма време (например, конкуренция, изпит). Лично аз винаги проверявайте интегралите, и липсата на проверки и рана мисля лошо на заданието.

Намерете неопределен интеграл:

Решение: Анализ на интеграл, виждаме, че имаме неразделна произведение на две функции, и дори повишаване на целия израз. За съжаление, в областта на интегрираното битка не е добър и удобен за интегриране на продукт с формула и самостоятелен или.

Ето защо, когато даден продукт или частното, винаги има смисъл да се погледне, както и дали да се трансформира подинтегрален в размер не може да бъде? Примерът - случаят, когато това е възможно.

(1) Използвайте добрата стара формула квадратен сумата за всички реални числа. да се отървем от степента на общото скоба.

(2), въведена в скобата чрез разполагане на продукта.

(3) се използват свойствата на интегрална линейността (и двете правила незабавно).

(4) трансформиране на интегралите на таблична формула.

(5) е опростена отговор. Тук трябва да се обърне внимание на общите неправилни дроби - това е който не може да бъде намален, а в отговорът е в тази форма.

Не е нужно да споделят калкулатор!

Не е необходимо да го представя под формата!

Вземете източник подинтегрален. и поради това, интеграл намери правилно.

Функцията одит винаги е желателно да се "пакет" към първоначалната си форма, въвеждане в този случай, скобите и прилагане формула Инициали умножение в обратна посока.

Намерете неопределен интеграл

Това е един пример за собствените си решения. Отговор и цялостно решение до края на урока.

Намерете неопределен интеграл

В този пример функцията подинтегрален е фракция. Когато видим една малка част в подинтегрален, първата мисъл, трябва да бъде на въпроса: "възможно по някакъв начин да се отървете от фракцията, или поне да го улесни ли е?".

Забелязваме, че в знаменателя е самотен коренът на "Х". Един в областта - не е воин, така че можете да termwise разделят числителя от знаменателя:

Ако все още са объркани от такъв пример като

и във всеки не се получи правилния отговор,

Също така имайте предвид, че решението не е попълнено стъпка, а именно прилагането на правилата. , Обикновено, когато на определен опит за решаване на интеграли на тези правила се смята за очевиден факт, а не боядисани в подробности.

Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.

Това е един пример за собствените си решения. Отговор и цялостно решение до края на урока.

В общи линии, с фракции в интегралите не е толкова лесно да се интегрират допълнителни материални фракции на някои видове могат да бъдат намерени в статията: Интегриране на някои фракции. Но преди да се премести в по-горе статия, трябва да се запознаете с урок: метод за подмяна на неопределен интеграл. Фактът, че функцията за сумиране на метода на диференциалното или промяна на променливата е ключът към изучаване на темата, защото това се случва не само "чисти работни места на метод замяна", но също така и в много други видове интеграли.

Пример 2: Разтвор:

Пример 4: Разтвор:

В този пример, ние използвахме формулата на съкратената умножение

Пример 6: Разтвор: