Матрици, детерминанти, системи линейни уравнения
Определен матрица. ВИДОВЕ MATRIX
Матрицата размер m х п е набор от m · п номера подредени в правоъгълна решетка на м редове и колони п. Тази таблица е обикновено оградена в скоби. Например, матрицата може да бъде:
За краткост, матрицата може да бъде означен с един главна буква, като А или В.
Като цяло, размер матрица М ЗХп написано като
Числата, които изграждат масива, наречени елементи на матрицата. Елементите на матрицата е удобно да се предоставят два индекса Aij. първият показва номера на реда, а втората - номера на колоната. Например, А23 - елемент е във втория ред, третата колона.
Ако броя на редовете в масива е равен на броя на колоните, на квадратна матрица се нарича. Освен броя на редове или колони на матрицата се нарича ред. Горните примери са квадратен втората матрица - своето определение е равно на 3, а четвъртият матрицата - процедурата си 1.
Матрицата, в които броят на линиите не е равен на броя на колоните, наречен правоъгълна. В примерите, това е първата и третата матрица.
Също така се различават матрици, които имат само един ред или една колона.
Матрицата, която е само една линия, наречена матрицата - ред (или низ) и матрицата в които само една колона матрица - колона.
Матрица, чиито елементи са всички равно на нула, се нарича нула и означен с (0), или 0. Например,
Основният диагонал на квадратна матрица ще се нарича диагонал от горния ляв до долния десен ъгъл.
Квадратна матрица, в която всички елементи, разположени под главната диагонала са нула, наречен триъгълна матрица.
Квадратна матрица, в която всички елементи, с изключение евентуално за заставане на главния диагонал са нула, наречен диагонална матрица. Например ,, или.
Диагоналната матрица, чиито елементи са диагонал всички равна на единица се нарича матрица идентичност и е означена с буквата Е. Например, единична матрица за 3 има формата.
ДЕЙСТВИЕ на матрици
Равенство на матрици. Две матрици А и В се нарича равна, ако те имат същия брой редове и колони и съответните им елементи са Aij = BIJ. По този начин, ако ф, тогава А = Б. Ако А11 = b11. a12 = В12. a21 = B21 и А22 = В22.
Транспониране. Да разгледаме произволна матрица А м редове и колони п. Може да се асоциира матрица Б м редове и колони п, в която всеки ред на матрицата е колоната със същия брой (и следователно, всяка колона е ред на матрицата със същия брой). Така че, ако тогава.
Тази матрица В се нарича транспонирана матрица A. преход от А към В чрез транспониране.
Следователно, транспониране - промяна роли на редове и колони на матрицата. Матрицата транспониране на матрица А. обикновено означен А Т.
Комуникацията между матрицата и нейното транспониране може да се запише.
Например. Намерете матрицата транспониране на настоящата.
Добавянето на матрици. Нека матрици А и В се състои от еднакъв брой редове и същия брой колони, т.е. имат същите размери. След това, за да се определят матрица А и В трябва да се добави елементите на елементите на матрица на матрица В. заставане на същото място. Така, сумата на две матрици А и В е С матрица, която се определя от правило, например,
Примери. Намерете сбора на матрици:
Лесно е да се провери, че добавянето на матрици се подчинява на следните закони: комутативен А + В = B + А и асоциативен (А + В) + C = A + (В + С).
Размножаване на матрица от редица. За да се размножават матрицата на броя к е необходимо всеки елемент на матрицата се умножава по този номер. Така продукт матрица К е броят на нова матрица, която се определя от правило или.
За всички номера а и б и матрици А и В следните уравнения притежават:
матрица С, не може да се намери, защото Матрицата А и В имат различни размери.
Матрицата умножение. Тази операция се извършва от особен закон. На първо място, имайте предвид, че размерът на матрични фактори трябва да бъдат координирани. Могат да се размножават само тези матрици, в които броят на колони от първата матрица съвпада с броя на редовете на втората матрица (т.е., първата дължина линия равна на височината на втората колона). Матрица продукт от матрица В не се поставя нова матрица С = AB. където елементи са направени, както следва:
Така, например, за да получи продукта (например, матрицата С) елемент стои в първия ред и третата колона C13 на. Трябва в първата матрица да първия ред, на втората - третата колона, линейни елементи и след това се умножава със съответните елементи на колоната и полученият продукт сгънати. И други елементи на продукта за матрица, получени при използване на същия продукт от първата матрица редове, колони на втората матрица.
Като цяло, ако се умножава матрица А = (Aij) размер м х п матрица на В = (BIJ) размер п х стр. С се получи размер матрица m х стр. елементи, от които се изчисляват както следва: CIJ елемент, получен чрез матрица продукта от елементи и Th ред А съответния елементи й тата колона на матрицата B и тяхното добавяне.
Това правило трябва да бъде, че винаги е възможно да се размножават два квадратни матрици от същия ред, в резултат получаваме квадратна матрица от същия порядък. По-специално, то винаги може да бъде квадратна матрица размножават по себе си, т.е. на квадрат.
Друг важен случай е матрица размножаването на ред на матрицата на колоната, с първа ширина е равна на втората височина, като в резултат се получи матрица от първи ред (т.е., един елемент). В действителност,
, B · A - няма смисъл.
По този начин, тези прости примери показват, че матриците по принцип не пътуват един с друг, т.е. A # 8729; B ≠ B # 8729; A. Ето защо, в размножаването на матрици трябва внимателно да следват реда на факторите.
Можете да проверите, че размножаването на матрица се подчинява на законите за асоциативни и разпределителни, т.е. (AB) C = A (Британска Колумбия) и (А + В) С = AC + BC.
Също така е лесно да се провери, че когато умножена по квадратна матрица А е идентичност матрица Е от същия порядък отново получи матрица А. Освен това, AE = EA = А.
Може да се отбележи следното интересният факт. Както е известно продукт 2 ненулеви номера не е равен на 0. За матриците може да не настъпи, т.е. продукт 2 не са нула матрици може да бъде настроен на нула матрица.
Например. ако след това
Да се дава втора матрица за - квадратна матрица, състояща се от два реда и две колони.
Най-определящ фактор на втория ред. съответно тази матрица, нарича номер получава както следва: a11 А22 - А12 А21.
В детерминанта е обозначен.
Така че, за да намерите най-определящ фактор на втория ред от продукт на елементи от главния диагонал нужда изваждане на продукта от елементи на втория диагонал.
Примери. Изчислете вторичния идентификатор.
По същия начин, можем да считаме, матрицата на третия ред и съответното й определящ фактор.
Определящо на третия ред. съответно този трети ред квадратна матрица, нарича номер, и означен получава както следва:
По този начин, тази формула дава разпадане детерминанта трети ред елементи на първия ред A11. a12. a13 и намалява изчисляването на детерминантата на третия ред за изчисляване на детерминанта на втория ред.
Примери. Изчислете определящ фактор за третия ред.
По същия начин, ние можем да се въведе понятието детерминанти на четвърто, пето и т.н. поръчки, намаляване на тяхната цел разлагане на елементи първия ред, знакът "+" и "-" от гледна точка заместник.
По този начин, за разлика от матрицата, която представлява таблица с номера детерминанта е номер, който се поставя по определен начин в съответствие матрица.