Математика произволен триъгълник

Основните теореми и формули на планиметрия Thales теорема. Ако успоредни линии пресичащи се страни на ъгъла, отсече от едната страна на равни сегменти, а след това тези прави линии отрязани от другата страна също е равни отсечки. Питагорова теорема. В правоъгълен триъгълник, хипотенузата е равна на квадрата на сумата от квадратите на краката: 2 = 2 + б 2. произволен триъгълник, В, С - страна; - противоположни краища на нея; р - semiperimeter; R - радиусът на кръга; R - радиусът на вписан кръг; S - площ; ха - височината привлечени от страна на. S = PR. където р = 1/2 (А + В + С) разтвор триъгълници теоремата на уют. задължително теорема. средната продължителност на триъгълника :. Дължината на страните на триъгълника чрез медиите :. Дължината на ъглополовящата на триъгълника :. Равностранен триъгълник имоти разполовяване вътрешния ъгъл на CM - ъглополовяща на ъгъл С в триъгълника ABC дължината на ъглополовяща :. средната продължителност :. Дължина на височина :. Наличието на кръга, описан около триъгълник:

• всички три средна триъгълник перпендикулярна се пресичат в една точка и тази точка е в центъра на кръга. Описан кръг около триъгълник винаги съществува и тя е уникална;
• центъра на описаните окръжности на правоъгълния триъгълник хипотенузата е по средата.

Съществуването на вписаната:

• трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка, и тази точка е в центъра на вписан кръг;
• окръжност вписана в триъгълник винаги съществува и тя е уникална.

Сегменти и кръгове, свързани с триъгълник на кръгове, допирателна към трите страни на триъгълник се нарича своята вписан кръг. Кръгът преминаване през трите върха на триъгълника се нарича окръжност кръг. Трите медианите на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка на пресичане се нарича центърът на тежестта или центъра на тежестта на триъгълника. Центърът на тежестта разделя всеки средната в 1 съотношение: 2, като се излиза от основата на медианата. Три височина триъгълник се пресичат в една точка, наречена ортоцентър на триъгълника. На ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка. и тази точка съвпада с центъра на вписан кръг. В равностранен триъгълник, ъглополовящата, медианата и височината отведен в основата на един и същ. Обратно, ако ъглополовящата, медианата и височината, съставен от по един връх, за да съвпадне, а след това на триъгълника е равнобедрен. Ако триъгълник едностранно, а след това всеки връх ъглополовящата на изготвен от него, се намира между медианата и е съставен от една и съща височина връх. Mid-перпендикулярите към страните на триъгълника и се пресичат в една точка, която съвпада с центъра на окръжност кръг. Извън вписан кръг се нарича кръг допирателната към едната страна на триъгълника и продължаването на другите две страни. Средства за трите страни на триъгълника, основата и височини на неговите три центъра три сегмента, свързващи точките с ортоцентър, лежат на окръжност, наречени девет точки кръг. Във всеки триъгълник център на тежестта, ортоцентър, в центъра на описаните окръжности и кръг център на девет точки лежат на една права линия, наречена Ойлер линия. Сегмент свързваща средата на страните триъгълник триъгълник се нарича средна линия. Средната линия на триъгълника е собственост - тя е успоредна на основата на триъгълника и е равна на неговата половина. Свойствата на медианите на триъгълника

• Медианата разделя триъгълника на два триъгълника с еднаква площ.
• Медианите на триъгълник се пресичат в една точка. която разделя всеки от тях в съотношение 2: 1, като се излиза от горната част. Тази точка се нарича центърът на тежестта на триъгълника.
• Цялата триъгълник е разделен на шест техните медианите равни триъгълници.

Имоти височини на триъгълник

• В правоъгълен триъгълник височината от върха на правия ъгъл, тя се разделя на два триъгълника, подобни на оригинала.
• В остроъгълен триъгълник, височина два подобни триъгълници отрязани от него.
• Ако остроъгълен триъгълник, в основата на всички височини принадлежат страни на триъгълника, и тъп триъгълник в две височини падне да продължат купона.
• Три височина в остър триъгълник се пресичат в една точка и тази точка се нарича ортоцентър на триъгълника.

Свойства на средата на нормалните триъгълника

• Всяка точка на перпендикуляра към отсечката е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент. Обратното също е вярно: всяка точка на равно разстояние от краищата на сегмента се намира на перпендикуляра към него.
• Точката на пресичане midperpendiculars държани до страните на триъгълника е в центъра на кръга на триъгълника.

Критерии за сходството на триъгълници

1. двата ъгъла;
2. две пропорционални страни и на ъгъла между тях;
3. от три страни пропорционално.

Пример 1. Кое от следните твърдения не е вярно?

1) всеки два равностранни триъгълници са сходни. 2) два равнобедрен правоъгълен триъгълник са сходни. 3) две неравни ъглови триъгълници с равни хипотенузи подобни. 4) Ако периметъра включват триъгълници като 3: 2, областите на тези триъгълници са както 9: 4.

1) 3 и 4; 2) не неверници; 3) 3; 4) 4. Solution.

1) е така, защото триъгълници са подобни, ако техните ъгли са равни. 2) Вярно е, защото триъгълници са сходни за двата ъгъла. 3) е невалиден. Например, правоъгълен триъгълник с хипотенузата на 5 и краката 3 и 4 на първия, втория и краката (Забележете, че () 2 + () 2 = 5 2). Освен това, краката не са пропорционални. И тогава, триъгълници не са сходни. 4) е така, защото ако съотношението на линейните размери на тези цифри се равнява к. съотношението на площта на тези фигури е к 2.

Отговор: 3. Пример 2 равностранен триъгълник Side е 10. Намерете своята област. Решение. BH = 1/2 BC. От теоремата на Питагор: A: 25. Пример 3 В равнобедрен триъгълник страна латерална е 10, а ъгълът, разположена срещу основата е 120. Намерете лицето на триъгълника. Решение. BH = AB cos30 = 10/2 = 5. Тогава BC = 2VN = 10. AH = AB sin30 = 10/2 = 5 А: 25. Пример 4. равнобедрен триъгълник странична стена е 10, а ъгълът, разположена срещу основата е равно на 135, база. Намерете лицето на триъгълника. Решение. Имайте предвид, че допълнително условие (около основата) в проблема. Отговор: 25. ПРИМЕР 5 В триъгълник една от страните е равно на 10, а другият е 12, и косинус на ъгъла между тях е равно. Намерете лицето на триъгълника. Решение. Отговор: 20. Пример 6. В триъгълник една от страните е равно на 10, а другият е 12, и допирателната на ъгъла между тях е равно. Намерете лицето на триъгълника. Решение. Отговор: 20. Пример 7. Площта на триъгълник ABC е 30 cm 2. От страна на AC е взета точка D така, че AD: DC = 2: 3. Дължината на перпендикуляра DE, която се проведе в страните BC, равни на 9 см. Намерете пр. Решение. Начертайте BD; триъгълници ABD и BDC имат обща височина BF; следователно тяхната област третира като дължината на основи, т.е. . От които друга страна, когато BC = 4 cm А :. BC = 4, виж Пример 8. В триъгълника ABC, AB = 5 см, С 30 е равна. Намерете радиуса на кръга. Решение. Според синусова теорема имаме средствата, т.е. , Последователно откриваме 2R = 10. т.е. R = 5 cm A: .. 5, виж Пример 9. Приблизително равнобедрен триъгълник с основа AC и базовата ъгъл 75 описва окръжност с център О. намери радиус, ако зоната на триъгълника е ВОС 16. разтвор.

Ако: ABC - равнобедрен, AC - базови, ACB = 75, SBOC = 16 Find: R - радиус на окръжност

ABC - равнобедрен, BH - следователно средно, BH - височина и следователно HBC - правоъгълна НВС = 90 - АТБ, НВС = 90-75 = 15 БО = OC = R. следователно ВОС - равнобедрен означава ОВС = ОКИ = 15 COB = 180 - (ОВС + ОКИ), COB = 180 - (15 + 15) = 150 S = (БО ∙ OC грях ВОС) / 2. SBOC = (R ∙ R ∙ грях 150) / 2 = (R ∙ R) / 4 = R 2/2; R 2/4 = 16; R 2 = 64; R = 8: 8. Пример 10. остроъгълен равнобедрен триъгълник с основа BCD CD А, в 16, е вписан в окръжност с център О и радиус 10. Откриване областта на триъгълника ВОС. Решение. Тъй като BCD - равнобедрен, CD = 16. следователно DH = HC = 8. DOH - правоъгълна. Чрез Питагоровата теорема: ОН 2 = 10 2-8 2 OH 2 = 100 - 64 = 36, OH = 6 BH = БО + OH = 10 + 6 = 16 С Питагоровата теорема: BC 2 = 16 2 + 8 2 = 256 + 64 = 320 BC = 8. KBO НВС SBOK = 20 SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40 A: 40. Пример 11 окръжност вписан в равнобедрен триъгълник отношение на своите страни в точки К и А. точка К разделя страна на триъгълника на сегментите 15 и 10 като се излиза от дъното. Намери KA дължина сегмент. Решение.

Дано: BCD - равнобедрен, K Je г. пр.н.е. Je DC, BK = 15, KC = 10 намерите: KA.

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 02 Май СК = CA = 10 (линия сегменти допирателна съставен от точка), CB = CD. следователно AD = CD - CA, AD = 25 - 10 = 15. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (линия сегменти допирателна съставен от точка), и следователно BD = 15 + 15 = 30 CKA