Критерии на паралелизъм на две линии

лежи на кръст ъгли са равни, или

съответните ъгли са еднакви, или

сумата от едностранно ъгъл е 180 °, на

линии са успоредни (Фигура 1).

Доказателство. Ние се ограничаваме само до случаите на доказване 1.

Нека пресечната точка на линиите А и В се пресичат AB лежи на кръст ъгли да бъдат равни. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Ние показваме, че || б.

Да предположим, че линиите А и В не са успоредни. След това те се пресичат в точка М, и следователно един от ъглите 4 и 6 е външен ъгъл на триъгълника УД. За определеност, нека ∠ 4 - външен ъгъл на триъгълника ABM и ∠ 6 - вътрешен. От теоремата на външния ъгъл на триъгълника, от това следва, че повече от 4 ∠ ∠ 6, което противоречи на условието, означава прав и 6 и не могат да се пресичат, така че те са успоредни.

Внесат 1. Две отделни линии в равнина, перпендикулярна на същата линия, успоредна права (Фигура 2).

Забележка. Начинът, по който ние току-що се оказа дело на една теорема 1 се нарича методът за довеждане до абсурд или намаляването до абсурд. Първото име на този метод е наречен така, защото в началото на аргумент е предположение обратното (срещу), което се изисква, за да се докаже. Намаляване до абсурд се нарича се дължи на факта, че, като се аргументира, въз основа на горното предположение, стигаме до извода, абсурдно (реклама absurdum). Получаването на такова заключение ни води до отхвърляне на предположението, извършени от началото и да вземе това, което искахме да докажем.

Задача 1. Изготвяне на линия, минаваща през точка М и успоредна на дадена линия не минаваща през точка М.

Решение. Равен права линия през точка М р перпендикулярна на линията, а (Фиг. 3).

След провеждане през точка М линия В перпендикулярна на линия стр. Директен успоредни на линията б и следствие от Теорема 1.

На проблема се счита за важен извод:
през точка, не по дадена линия, винаги можете да нарисувате права линия, успоредна на тази.

Основната собственост на успоредни линии е следното.

В аксиома на паралелни линии. Чрез даден момент не по дадена линия, минава само една линия, успоредна на тази.

Помислете за някои от свойствата на успоредни линии, които произтичат от тази аксиома.

1) Ако права линия пресича един от две успоредни линии, след това преминава и друга (фигура 4).

2) Ако две различни линии, успоредни на трета линия, тогава те са успоредни (Фигура 5).