Как да създадете матрица от 1

Определяне на матрицата и нейните елементи. Наименования.

Матрицата - таблица на $ M $ редове и $ п $ колони. Елементите на матрицата може да бъде доста разнообразна природа на обектите: числа, променливи, или, например, друга матрица. Например, матрица $ \ ляво (\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ дясно) $ съдържа 3 реда и 2 колони; неговите елементи са цели числа. матрица $ \ Левият (\ започне а ^ 2 + 9 9 \ Sin х \\ -9 Тритон ^ 2-4 ф-т 8 \ край \ вдясно) $ съдържа 2 реда и 4 колони.

Различни начини за записване на матрици: шоу \ скрий

Матрицата може да бъде написана не само в кръг, но в квадратни скоби или двойни линии. Т.е. каза запис означава долу същата матрица:

$$ \ ляв (\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ дясно); \; \; \ Left [\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ прав]; \; \; \ Ляв \ Vert \ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ прав \ Vert $$

Продуктът от $ m \ пъти п $ се нарича размера на матрицата. Например, ако матрицата съдържа 5 редове и колони 3, се говори за размер матрица от $ 5 \ пъти 3 $. матрица $ \ напусна (\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ вдясно) $ е $ 3 \ пъти 2 $.

Обикновено матрицата са означени с букви от латинската азбука: $ A $, $ B $, $ C $ и така нататък. За пример, $ B = \ ляво (\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ вдясно) $. номерация линия върви от горе до долу; колони - от ляво на дясно. Например, първият ред на матрицата $ $ B съдържа елементи 5 и 3, а втората колона съдържа елементите 3, -87, 0.

матрични елементи обикновено са означени с малки букви. Например, елементите на матрицата са означени $ A $ $ a_ $. Dual индекс $ $ у съдържа информация за позицията на елемента в матрицата. Броят $ аз $ - това е броят линия и номер $ й $ - броя колона, която се намира в пресечната точка на елемент на $ a_ $. Например, в пресечната точка на втория ред и петата колона на матрицата $ А = \ наляво (\ започне 51 37 -9 0 9 97 \\ 1 2 3 41 59 6 \\ -17 -15 -13 -11 -8 -5 \\ 52 31 -4 -1 17 90 \ край \ вдясно) $ е елемент от $ a_ = $ 59:

По същия начин, в пресечната точка на първия ред и първата колона елемент има $ a_ = 51 $; в пресечната точка на третия ред и втората колона - елемент долара _ = - $ 15 и така нататък. Имайте предвид, че рекордните $ a_ $ на чете като "две и три", но не "на тридесет и две."

За стенографско обозначение матрица $ A $, чийто размер е равен на $ т \ пъти п $, използван запис $ A_ $. Тя може да се запише и разгърнати още няколко:

където запис $ наименование (_ а) $ означава матрични елементи $ A $. В напълно разширена форма матрица $ А _ = (а _) $ могат да бъдат написани като:

$$ A _ = \ ляво (\ започне a_ a_ \ ldots a_ \\ a_ a_ \ ldots a_ \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ a_ a_ \ ldots a_ \ край \ вдясно) $$

Представяме друг термин - Равно матрица.

Две матрици с еднакъв размер $ А _ = (а _) $ и $ B _ = (б _) $ каза бъдат равни. ако съответните елементи са равни, т.е. $ A_ = b_ $ за всички $ аз = \ Номера $ и $ к = \ Номера $.

Записване "$ аз = \ Номера $" показва, че параметърът $ аз $ варира от 1 до m. Например, записване $ аз = \ Номера $ означава, че параметърът $ аз $ взема стойности 1, 2, 3, 4, 5.

Така че, за равенство на матриците се изисква изпълнението на две условия: размера на мач и равенство на съответните елементи. Например, матрицата $ А = \ ляво (\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ вдясно) $ не е равно на $ матрица B = \ ляво (\ започне 8 -9 \\ 0 -87 \ край \ вдясно) $, тъй като матрицата $ A $ е $ 3 \ пъти $ 2, и размера на матрицата е $ B $ 2 $ \ $ 2 пъти. Също матрица $ A $ матрица не е равно на $ C = \ ляво (\ започне 5 3 \\ 98 -87 \\ 8 0 \ край \ вдясно) $, защото $ a_ \ НЕК C_ $ (т.е. 0 $ \ НЕК $ 98). Но за $ матрица F = \ ляво (\ започне 5 3 \\ 0 -87 \\ 8 0 \ край \ дясно) $ могат безопасно напиши $ А = F $ както и размери, както и съответните елементи на матриците $ A $ и $ F $ съвпадат.

Определяне на размера на матрицата $ А = \ наляво (\ започне -1 -2 1 \\ 5 9 -8 -6 \\ 8 23 \\ 11 -12 -5 \\ 4 0 -10 \\ \ край \ вдясно) $. Посочете какви са елементите $ a_ $, $ a_ $, $ a_ $.

Тази матрица съдържа 5 реда и 3 колони, така че размерът на неговите $ 5 \ пъти 3 $. За тази матрица, можете да използвате и името $ $ A_ на.

$ A_ $ елемент разположен в пресечната точка на първия ред, а втората колона, обаче $ а _ = - $ 2. Елемент $ a_ $ намира на пресечната точка на третия ред и третата колона, така че $ a_ = 23 $. $ $ A_ елемент разположен в пресечната точка на четвъртия ред и третата колона, така $ а _ = - 5 $.

Видове матрици в зависимост от техния размер. Основните и помощните диагонал. Трейс на матрица.

Да предположим, че определена матрица $ A_ $. Ако $ т = 1 $ (матрицата се състои от един ред), предварително определената матрица е ред матрица. Ако $ п = 1 $ (матрица се състои от една колона), след това матрицата се нарича матрица колона. За пример, $ \ ляво (\ започне -1 -2 0 -9 8 \ край \ дясно) $ - ред матрица и $ \ наляво (\ започне -1 \\ \\ 5 6 \ край \ дясно) $ - колона матрица.

Ако матрица $ A_ $ вярно състояние $ т \ НЕК п $ (т.е. броя на линиите не е равен на броя на колоните), често се казва, че $ A $ - правоъгълна матрица. Например, матрица $ \ ляво (\ започне -1 -2 0 9 \\ 5 9 5 1 \ край \ дясно) $ е $ 2 \ пъти $ 4, т.е. Той се състои от 2 редове и 4 колони. Тъй като броят на линиите не е равен на броя на колоните, тази матрица е правоъгълна.

Ако матрица $ A_ $ вярно състояние $ т = п $ (т.е., броят на редовете е равен на броя на колоните), след това се каже, че $ A $ - квадратна матрица от ред $ п $. За пример, $ \ ляво (\ започне -1 -2 \\ 5 9 \ край \ вдясно) $ - квадратна матрица от втори ред; $ \ Left (\ започне -1 -2 9 \\ 5 9 8 \\ 1 0 4 \ край \ вдясно) $ - квадратна матрица на третия ред. Като цяло, квадратна матрица $ A_ $ може да се запише като:

$$ A _ = \ ляво (\ започне a_ a_ \ ldots a_ \\ a_ a_ \ ldots a_ \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ a_ a_ \ ldots a_ \ край \ вдясно) $$

Те казват, че елементите $ a_ $, $ a_ $, $ \ ldots $, $ a_ $ разположени на главния диагонал на матрицата $ A_ $ на. Тези елементи се наричат ​​основни диагоналните елементи (или просто диагоналните елементи). Елементи $ a_ $, $ a_ $, $ \ ldots $, $ a_ $ разположен отстрани (вторичен) диагонал; те се наричат ​​странични-диагонал елементи. Например, за $ матрица С = \ наляво (\ begin2-291 \\ 598 0 \\ 1 0 4 -4 -7 \\ -9 5 6 \ край \ вдясно) $ имаме:

Елементи $ C_ = $ 2, $ C_ = 9 $, $ C_ = $ 4, $ C_ = 6 $ са основните диагоналните елементи; елементи $ C_ = 1 $, $ C_ = 8 $, $ C_ = 0 $, $ в _ = - $ 4 - странични диагонални елементи.

Сумата от основните диагоналните елементи се нарича следа на матрицата и е означен с $ \ Tr A $ (или $ \ Sp A $):

Например, за матрица $ C = \ наляво (\ започне 2 -2 9 1 \\ 5 9 8 0 \\ 1 0 4 -7 \\ - 4 -9 5 6 \ край \ вдясно) $ имаме:

Концепцията на диагоналните елементи се използва и за не-квадратни матрици. Например, за $ матрица B = \ наляво (\ започне 2 -2 9 1 7 \\ 5 -9 8 0 -6 \\ 1 0 4 -7 -6 \ край \ дясно) $ основните диагонални елементи са $ b_ = $ 2, $ б _ = - 9 $, $ b_ = 4 $.

Видове матрици в зависимост от стойността на техните елементи.

Ако всички елементи на матрица $ A_ $ за равна на нула, а след това тази матрица се нарича нула и обикновено обозначени с писмо $ O $ на. За пример, $ \ ляво (\ започне 0 0 \\ 0 0 \\ 0 0 \ край \ вдясно) $, $ \ ляво (\ започне 0 0 0 \\ 0 0 0 \\ 0 0 0 \ край \ вдясно) $ - нула матрици.

Нека матрица $ A_ $ е, както следва:

След тази матрица се нарича трапецовидния мускул. Не може да съдържа нула редове, но ако те са, са разположени в долната част на матрицата. По-общо казано трапецовидна матрица може да се запише като:

Отново, не е необходимо присъствието на нула линии в края. Т.е. технически възможно да се разпределят тези условия за трапецовидна матрица:

1. Всички елементи, намиращи се под главния диагонал са равни на нула.
2. Всички елементи на $ a_ $ на до $ a_ $, лежащи на главния диагонал, не са равни на нула: $ a_ \ НЕК 0 \; a_ \ НЕК 0, \ ldots, a_ \ НЕК 0 $.
3. Или всички елементи последните $ m-R $ редове равни на нула или $ т = R $ (т.е. нула редове не присъства на всички).

Примери трапецовидна матрици:

Обръщаме се към следното определение. $ Matrix $ A_ нарича скорост. ако отговаря на следните условия:

1. Първият елемент на първия ред не е нула, $ a_ \ НЕК 0 $.
2. Всяка ненулева низ (т.е. низ, който съдържа поне един елемент не е равна на нула) се състои от две части: първата (нула) и втора част, която започва от нула елемент:

От две ненулеви редове, които са по-долу, в който нула често е повече.

Null линия може да се уреди, само след като не са нулеви редове.

Например, етап матрица ще бъде:

За сравнение, матрица $ \ ляво (\ започне 2 -2 0 1 \\ 0 0 8 7 \\ 0 0 4 -7 \\ 0 0 0 0 \ край \ вдясно) $ не е стъпка, защото на третия ред на нула, е същият като на втория ред. Т.е. Това нарушава принципа на "долната линия -. По-голямата част от нула" Трябва да добавя, че матрицата на трапецовидна е специален случай на стъпаловидна матрица.

Обръщаме се към следното определение. Ако всички елементи на квадратна матрица, разположена под главната диагонала са равни на нула, тогава тази матрица се нарича горна триъгълна матрица. За пример, $ \ ляво (\ започне 2 -2 9 1 \\ 0 9 8 0 \\ 0 0 4 -7 \\ 0 0 0 6 \ край \ вдясно) $ - горна триъгълна матрица. Имайте предвид, че определянето на горна триъгълна матрица не казва нищо за стойностите на елементите, намиращи се над главния диагонал, или на главния диагонал. Те могат да бъдат нула или не - това не е от съществено значение. За пример, $ \ ляво (\ започне 0 0 9 \\ 0 0 0 \\ 0 0 0 \ край \ вдясно) $ - също горна триъгълна матрица.

Ако всички елементи на квадратна матрица, разположен над главния диагонал са равни на нула, тогава тази матрица се нарича долна триъгълна матрица. За пример, $ \ ляво (\ започне 3 0 0 0 \\ -5 1 0 0 \\ 8 2 1 \\ 0 5 4 0 6 \ край \ вдясно) $ - долната триъгълна матрица. Имайте предвид, че определянето на по-ниска триъгълна матрица не е казал нищо за стойностите на елементите, разположени в или върху главния диагонал. Те могат да бъдат нула или не - няма значение. За пример, $ \ ляво (\ започне -5 0 0 \\ 0 0 0 \\ 0 0 9 \ край \ вдясно) $ и $ \ ляв (\ започне 0 0 0 \\ 0 0 0 \\ 0 0 0 \ край \ вдясно) $ - също по-ниски триъгълни матрици.

Квадратна матрица се нарича диагонал. ако всички елементи на тази матрица не лежи на главния диагонал са равни на нула. Пример: $ \ ляво (\ започне 3 0 0 0 \\ 0 -2 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 0 6 \ край \ вдясно) $. на основните диагоналните елементи могат да бъдат всяка (нула или не) - това не е съществено.

Диагонална матрица се нарича единица. ако всички елементи на тази матрица, разположен на главния диагонал са равни на 1. Така например, $ \ ляво (\ започне 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ край \ вдясно) $ - матрицата на идентичност на четвъртия ред; $ \ Left (\ започне 1 0 \\ 0 1 \ край \ вдясно) $ - матрицата на идентичност на втория ред.