Как да се докаже, че триъгълникът е остроъгълен 3
§ 4. Schwarz триъгълник
1. Доказателството, представен от Шварц
Немски Амандус Шварц (1843-1921). изтъкнат математик, професор в Берлинския университет, е направил много за развитието на съвременната теория на функциите и анализ. Той не го разгледа под достойнството им да пиша по темата за елементарно съдържание, както и един от неговите произведения, посветени на следния проблем: в остроъгълен триъгълник вписан във всеки триъгълник с минимален периметър. (Когато казваме, че триъгълник е вписан в това, имаме предвид, че от всяка страна на триъгълника има връх на триъгълника в процес на разглеждане.)-Късно ще видим, че има само един задължителен триъгълник: а именно, върховете му са основната височината на триъгълника. Този триъгълник ще се нарича триъгълник надморска височина.
Schwartz оказа минимум собственост на височината на триъгълника, като се използва метода на отражение, и въз основа на следната елементарна геометрия теоремата: (. Фигура 197) Във всеки от върховете Р, Q, R двете страни на височината на триъгълника правят равни ъгли с страна на триъгълника, че всяка от тези ъгли е равно на ъгъл в противоположния върха на триъгълника. Например, ъгли ARQ и BRP са всеки ъгъл С и т. D.
Фиг. 197. Надморска височина триъгълник в AVS триъгълника
Ние първо да докаже теоремата. Тъй като ъглите на ODS и ORB прави, за четириъгълник OPBR може да се опише кръг. Следователно ∠PBO = ∠PRO, тъй като споменатите ъгли се основава на същия кръг дъга описано. Но РВМС ъгъл допълва ъгъла С, като CBQ правоъгълен триъгълник, а ъгълът на ъгъла на PRO допълнителна НРБ. Следователно ∠PRB = ∠C. По същия начин, говорим за QORA на четириъгълник. заключи, че ∠QRA = ∠C и т. г.
Този резултат се стига до разследването, свързани с триъгълника на надморска височина: тъй като, например, ∠AQR = ∠CQP. след отражението от външната страна на триъгълника AC страна RQ изпратеното от страна PQ, и обратно. По същия начин, за другите страни.
Нека сега се обърнем към доказателството на минималната височина на триъгълник имота. В триъгълник ABC, помислете заедно с триъгълника на надморска височина, друг вписан триъгълник, да речем, UVW. Заснемане на първата част по отношение на AC страна на триъгълник ABC, а след това да си възвърне фигурата отрази относителния страна AB, а след това - по отношение на слънцето, а след това - по отношение на Африканския съюз и на последно място, по отношение на AB. По този начин ние получаваме общо шест еднакви триъгълници, и високо триъгълник и дори друг вписан триъгълник (фиг. 198) ще бъде връчена във всяка от тях. Sun страна на последния триъгълник е успоредна на първата страна на триъгълника Sun В действителност, в първата страна отражение BC върти отражение UL страна се върти по часовниковата стрелка от 2С ъгъл. след това отново по часовниковата стрелка ъгъл 2В. в третия отражение - остава непроменена; в четвъртия - 2C се върти обратно на часовниковата стрелка и пети - 2B отново на ъгъл на часовниковата стрелка. Общо общия ъгъл на завиване е нула.
Фиг. 198. доказателството свойства минималната височина на триъгълник, дадено от Шварц
Поради посочените по-горе свойства на сегмента на триъгълник височина линия PP ', равна на два пъти периметъра на PQR на триъгълник: наистина, PP се състои от шест сегменти, от своя страна са равни и първата, втората и PQR трета страна, всяка странична част два пъти. По същия начин начупена линия, свързваща U и U "е с дължина, равна на два пъти по периметъра на триъгълника UVW. Това прекъсната линия е не по-кратък от линия сегмент UU ". Що се отнася до линията сегмент направо UU ", това е ПП" като сегмента UU "е успоредна на ПП". Така че, начупена линия UU "не е по-кратък от правата линия PP ', т. Е. ЕПК периметъра на триъгълника е не по-голям от периметъра на всеки друг триъгълник вписан в това. Той също така е трябвало да се докаже. Така че, беше установено, че минималната съществува и че то се прилага в случай на висока надморска височина на триъгълника. Това не е триъгълник вписан със същия периметър - това, обаче, че не е доказано, и ние ще го докажем по-нататък.