Как да намерите центъра на правоъгълен триъгълник

ЦЕНТЪР на паралелни сили и центъра на тежестта

§ 18. В центъра на паралелни сили

Предвид система от паралелни сили, прилагани в точка Kah и насочени в една и съща посока (фиг. 1.32). Такава система на сили може да се намали до Получената. успоредна на дадените сили и насочена в същата посока. Тъй като силите, приложени към тялото е абсолютно твърда сплав-къща, има плъзгаща вектор, получените може да бъде ДОПЪЛНЕНИЕ-живеят навсякъде по линията го-екшън действие. Ние се получи уравнението на линията на действие на резултатната на паралелни сили.

Според теоремата на получената п-среда Varignon си по отношение на всяка ос е алгебра-алгебрично обобщим-ING въртящ момент е по отношение на същата тази ос. Така е и с помощта-аналитични изрази за моментите на сила спрямо координатните оси, ние можем да напишете:

Да означим ъглите между посоката на сила с координатните оси. и чрез. и. Тогава прогнози на координатните оси, дадени сили и тяхната резултантната ще бъде равен на:

Замествайки тези изрази в (1.9) и (1.10), след като някои трансформации получаваме

Разделяне на уравнение (1.11) на. и (1.12) - върху и замени на. получаваме

Точката се нарича център на системата на паралелни сили. Позиция на цена-тра паралелни сили не зависи от посоката на сила, но само на техните ценности и точки на приложение. Точката на център е паралелни сили, Th-нарязани линия, която преминава получените проводим-система паралелни сили, ADJ-конюгиран при фиксирани точки, с всяка промяна на борда на тези сили в пространство-stve.

Горните съждения и резултатите, Tata ще са валидни в случай на система от паралелни сили, които са равни действащ, но не и в една и съща посока. В този случай, трябва само да се вземат във всички формули стойността с "плюс", ако посоката-окръга в същата посока като това. и с "минус" знак в обратната SLE-чай.

Три от формула (1.14) може да бъде заменен от един вектор формула

и при което - радиус вектори на точки и точките на прилагане определени паралелни сили проведени от произхода.

Всъщност, проекцията на радиус вектор от всяка точка на оста. и равно на съответните проводим-координатите на точка (фиг. 1.34). Следователно, чрез конструиране на вектор уравнение (1.15) на оста на координатната, ние получаваме формула (1.14), за определяне на координатите на центъра на ал - паралелни сили.

§ 19. Концепцията на центъра на тежестта на твърдото тяло

Ако размерът на тялото е малко в сравнение с радиуса на Земята, можем да предположим, че тежестта на всички частици на тялото образуват система от паралелни сили. Те наречен получената силата на гравитацията. и центъра на паралелни сили - центъра на тялото на гравитацията.

Центърът на тежестта - това е точката, през която линията на тежестта му се извършва при всяко положение на тялото. Координатите на центъра на тежестта могат да бъдат определени от формули (1.14)

Ако тялото е хомогенно. теглото на частици на тялото е пропорционално на обема. Ето защо, подобно на центъра на тежестта координати са равни на:

където - обем на тялото.

Ако хомогенна тяло има формата на тънка обвивка-тол константа на гуми, може да се разглежда като материал повърхност. Теглото на всяка елементарна площ на такава повърхност е пропорционална на квадрата на елемента. Да координира повърхност центъра на тежестта на полу-чая

където - повърхността.

В случай на самолета фигура. лежи в равнината. трябва да се изчислява от (1.18) и само на координатите.

Сумите се наричат ​​статичен момент на площ съответно, по отношение на осите и.

Органът, в която един от размерите е много голям в сравнение с други (например, дълга тръба, кабел и т.н.) може да се разглежда като материал линия. Теглото на всеки елемент от хомогенен материал линия е пропорционален на дължината на елемента. В този случай, обща формула (1.16) е под формата

Формула (1.16) - (1,19) са точни, строго погледнато, само в време ритъма на тялото на безкраен брой безкрайно малки частици. Ако броят на частици, в които психически разделени край на тялото, в общия случай, тези формули са приблизителни, тъй като координати. и където п-червата да се определи само с точност на размерите на частиците. Колкото по-малки частици, по-малката грешка, която ние ще направим при изчисляването на координатите на центъра на тежестта. По-точни изрази, може да влезе в повторна Dhul Тейт само процес ограничаване, когато размерът на всяка частица клони към нула, а някои от тях се увеличава за неопределено време. Както е известно, тази граница се казва, оп-определеност неразделна. Поради това действителното определяне на центъра на тежестта координати на органи съгласно формули (1.16) - (1.19) в замяна Thr-buet общия случай възлиза съответните интеграли и прилагане на интегрално смятане. Въпреки това, в определен-toryh специални случаи е възможно да се управлява и елементарни методи, които ние ще обсъдим по-долу.

§ 20. Някои методи за определяне на координатите

Метод simmetrii.Esli хомогенно тяло има равнина, оста или център на симетрия, център на тежестта на тялото се намира съответно в плосък STI на тази ос или в центъра. Например, в центъра на тежестта на хомогенна кръгов конус, разположена около оста си, и центъра на тежестта на хомогенна сфера - в нейния център.

Метод gruppirovki.Esli тяло може да бъде разделен на определен брой части, за всеки от които е известен на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта може да се определи точно и, освен това, директно чрез общите формули (1.16) - (1.19), когато се гледа в те (или ..) и. , съответно като теглото (или обем, площ, дължина) и координиране на Ната центъра на тежестта на частите на тялото.

Тези изявления могат да бъдат демонстрирани чрез (1.16). Ние ще докаже-проба, вторият от тях. Нека тялото може да бъде разделена на части за всеки един от съвместно toryh известен теглото и координатите на. , център на тежестта. , Разделяме всяка от сумите. , във формули (1.16) в условия, всеки от които е общ за само една от частите, в която разделя тялото. Например,

Но според първата формула (1.16)

Това уравнение е доста прецизна преминаване от лявата страна на границата (определен интеграл); докато от дясната страна се изразява с определен брой условия. Ето защо, ние получаваме (точно)

и т.н. което доказва нашето твърдение.

Задача 1.9. Определяне на центъра на тежестта на равнина фигура (фиг. 1.35), огънат от тънка тел. Предвид размери :. , , ,

Решение. Фигурата се състои от четири странични рязко. , и. Тези части от четири гуми и разделят на фигурата. Средства за тези сегменти са центрове на симетрия, и, следователно, ча-гравитационни центрове (точки .. И фиг. 1.35).

Въз основа на размера на сегмента, да намерите координатите на центъра на тежестта и сегментите и дължина.

С (1.18), ние получаваме:

метод допълнения. или отрицателни тегла. специален случай на метода на чай групиране. Същността му е ясно от следния пример.

Задача 1.11. В хомогенна квадратен PLA toplate с страна нарязани дупка във формата на квадрат, сто-Rhone успоредни на страните на PLA-Щина и равни. Ната определи координатите на центъра на тежестта на останалата част от плочата, знаейки. където - центъра на квадрата (Фигура 1.37.).

Reshenie.Budem разгледа тази плоча и пълен набор от квадратен силует и без квадрат с център площ tochkes негативно (отрицателно тегло), насложен върху позицията на силует. Координатите за центъра на тежестта на формули (1.19) Отрицателно площ (тегло) трябва да се разглеждат със знака "минус".

Чрез центъра на площада и оста на тел. В избраните координатна система площади центъра на тежестта съвпада с точките и. Намерете областта на квадрати:

Въз основа на първите две формули (1.18), получаваме

Папа -Guldina теорема. В много случаи при определянето на координатите на центъра на тежестта на равнинни фигури и линии опростява използването на теореми Pappa - Guldin.

Първо teorema.Obem образуван чрез завъртане на фигура около ос, разположена с тялото й в една равнина и не го пресича, равна на произведението от квадратна форма на обиколката е описано от неговия център на тежестта.

Доказателство. Обемът на тялото, която се образува чрез завъртане равнина фигура (фиг. 1.38) около оста. Тя може да се изчислява като сумата от обемите на телата, образувани от въртенето niem елементарни области. Обемът на всяка от безкрайно тялото и на цялото тяло

Въз основа на формули (1.17), ние имаме

където - площта на фигурата; - координати на центъра на тежестта.

Приравняването на дясната страна на формули, теореми установяване на валидността на първия папа-Gulden.

Второ teorema.Bokovaya verhnosttela се образува чрез завъртане на плосък линия около ос, разположена с нея в една равнина и не-пресичащи проводящи линии равни на дължината на продукта към периферията е описано от центъра на тежестта-ча.

Доказателство. В страничната повърхност на тялото, дъгата образува чрез завъртане около оста. лежи с нея в една и съща равнина, равен на сумата на повърхности описано елементарни дъги (виж Фигура 1.39 ..):

Използване на формули (1.18), имаме

където - дължината на линията; - координати на центъра на тежестта.

Приравняването на дясната страна на миналия формула, ние установяване на валидността на втората теорема Папа Гоулдън.

Задача 1.12. Определяне на позицията на центъра на тежестта на областта на равнобедрен триъгълник полето с крака (фиг. 1.40).

Решение. След предварително определен ъгъл на върха на направо на триъгълник и оста на проводник. Завъртете триъгълника около оста. получи конус с основа радиус и височина (вж. фиг. 1.40). Обемът на конуса, и предварително определена област на триъгълника

Поради това, на базата на първия теорема уравнението Пап -Guldina (1.20) (координиране, когато такова въртене не се променя) става

Когато триъгълника се завърта около оста получите

Задача 1.13. Определяне на положението на центъра на тежестта на полукръг дъга с радиус (фиг. 1.41).

Решение. Тъй като оста на симетрия съвпада с оста на полукръг. центърът на тежестта лежи на оста, т.е. ,

Намери координати. Въртяща полукръг около ос. Получаваме сфера (вж. Фиг. 1.41). Площта на сферата е. полукръг с дължина -. Въз основа на втората теорема Рарр - имаме Guldin

§ 21. В центъра на тежестта на определени хомогенни линии

равнинни фигури и органи

Центърът на тежестта на триъгълника. Ние разделят областта на триъгълник-ника на безкрайно тънка ивица елементи тара паралелна базови-niju (фиг. 1.42). Центърът на тежестта kazh-дой ивица, разположен в средата на него. Геометрични мен сто центровете на тежестта на всички ивици имат средно. Следователно трябва да ле-натиснете центъра на тежестта на триъгълника. От същия аргумент Spra-вярно за другите две медиани, ча-центъра на тежестта на триъгълника на се намира в точката на пресичане-ТА на неговите медиани. При задаване на координатите на върховете на триъгълника те ще получат

Център на тежестта на дъгата на окръжността. Ние разделяме на дъгата в безкрайно малки елементарни дъги (фиг. 1.43).

С помощта на фиг. 1.43 имам

Център на тежестта на зоната на сектор. Умствени разделят радиуси сектор изготвени от центъра. безкрайно малки сектори, един от които е показан на чертежа (вж. фиг. 1.44). Всеки от тях може да се разглежда като сектор на триъгълник, и следователно му център на тежестта, разположен на разстояние от центъра. На мястото на центъра на тежестта на всички тези сектори е дъга. чиито център на тежестта съвпада с центъра на тежестта на сектора. Формула (1.23), замествайки. получавам

По-специално, полукръга и полукръг от формулите

от (1,22) и (1,23) имаме, съответно,

което съвпада с резултатите, получени при решаването на проблема 1.13.

Задача 1.14. Определяне координатите на центъра на тежестта на хомогенна тънка плоча, формата и размерите на които са показани на фиг. 1.45.

Решение. Ние трябва да разгледа този запис като агрегат общо Прекият правоъгълник без изрязвания, правоъгълен триъгълник крак и полукръг с отрицателен-Тел неправителствена области, които се налагат в разфасовки места. За удобство на дългосрочен Ши изчислителна намерите непознати дължини на сегментите. и.

Намери района и координатите съгласува центъра на тежестта на тези части.

правоъгълник

Центърът на тежестта на прав кръгов конус. При един прав кръгов конус (фиг. 1.46) с радиус височина и база. Оста на конуса се приема като ос на координатната. Ние разделят психически конус на тънки слоеве на секции niyami-успоредно на земята. Като за всеки слой приблизително цилиндрична диск с база радиус. , и колона-ТА. ние откриваме, че обемът му

Преброяване на броя на слоевете от върха на конуса, ние имаме

След формула (1.17), ние получаваме приблизителна

където - обем на конуса.

Отдаване под наем и като отбелязва, че

Ние се получи точната стойност на координатите

По същия начин може да се докаже, че във всеки пирамида център на тежестта лежи на отсечката, свързваща горната си основа с център на тежестта на разстояние от горната равна на дължината на този интервал.

По-ефективно тези проблеми се решават с помощта на апарат на интегрално смятане.