Квадратна функция 3

Square трином е полином втора степен, че е израз на форма брадва 2 + BX + в. където ≠ 0, Ь. в - (обикновено предварително определена) реални числа, наречен своите коефициенти, х - променлива.

Забележка: съотношение може да бъде всяко реално число, различно от нула. Всъщност, ако а = 0, тогава брадва 2 + BX + С = 0 · х 2 + BX + С = 0 + BX + с = BX + C. В този случай, изразът все още не е квадрат, така че не може да се счита за квадратен тричлен. Въпреки това, експресията на такива-binomials като 3x 2 - 2х или х 2 + 5 може да се разглежда като квадратен трином ако допълни тях липсва едночлени с нула коефициенти: 3x 2 - 2x = 3x 2 - 2х + 0 и х 2 + 5 = х 2 + 0x + 5.

Ако задачата е да се определи стойността на променливата х. в която квадратен трином става нула, т.е. брадва 2 + BX + с = 0, тогава има квадратно уравнение.

Ако има реален корени x1 и x2 на квадратно уравнение, съответният трином може да се разлага на линейни фактори. брадва 2 + BX + с = а (х - х 1) (х - х 2)

Забележка: Ако квадратен тричлен разглежда на снимачната площадка на комплексни числа, които може би не са учили, линейни фактори могат да бъдат разширени по всяко време.

Когато е още една задача за определяне на всички стойности, които могат да приемат в резултат от изчисляването на квадратен тричлен за различни стойности на х. т.е. Y определи експресията у = ос 2 + BX + C. След това трябва да се справим с квадратна функция.

В този случай, корените на квадратно уравнение са нули на квадратна функция.

Square трином също може да бъде записано като

Тази гледна точка е полезно, когато заговор и изучаване на свойствата на квадратна функция на една реална променлива.

Функция е квадратна функция дава от формулата у = F (х), където е (х) - квадратен трином. Т.е. формула на формата

където ≠ 0, Ь. в - никакви реални числа. Или конвертирате формула, като например

.

Графиката на квадратна функция е парабола, чийто връх е на мястото.

Забележка: Не се казва, че графиката на една квадратна функция се нарича парабола. Той казва, че графиката на функцията е парабола. Това е така, защото такава крива на математиката открити и име параболата преди (от гръцки пи # 945; # 961; # 945; # 946; # 959; # 955; # 942; -. В сравнение, сравнение, приликата) на сцената на подробно проучване свойства и квадратна функция графиката.

Парабола - линията на пресичане на прав кръгов конус от равнина, не преминава през върха на конуса и успоредна на една от образуващите линии на този конус.

Парабола има друг интересен имот, който се използва също като неговата дефиниция.

Парабола е набор от точки на самолет, чието разстояние от самолета до определена точка, наречена фокус на парабола, разстоянието е равен на определен права линия, наречена направляващата на парабола.

Построява се квадратна функция графика, можете да скицирате Keypoint.
Например, функция у = х 2 точки вземат

Но във всеки случай, точките могат да бъдат изградени само скица на графиката на квадратна функция, т.е. приблизителен график. За изграждането на параболата точно, ще трябва да използвате неговите свойства: фокуса и направляващата.
Въоръжени с хартия, линийка, задайте квадрат, два бутона и силна нишка. Прикрепете бутон приблизително в центъра на един лист хартия - точка, която ще бъде във фокуса на параболата. Втори бутон, се прикрепя към горната част на долния ъгъл на полигона. Въз основа на бутони закрепете нишка, така че дължината му е равна между бутоните голям катет Гон. Начертайте права линия не минаваща през фокуса на параболата на бъдещето - направляващата на параболата. Прикачване на линията на директорката и перпендикулярно на линията, както е показано на фигурата. Преместване на площада заедно владетеля при натискане на писалката върху хартията и на Гон. Уверете се, че конецът беше опънат.

Измерете разстоянието между фокуса и направляващата (не забравяйте - разстоянието между точката и линията, определена от перпендикуляра). Това е фокусното параметър на парабола стр. В координатната система е показано на дясната фигура ни парабола уравнение има формата: у = х 2 / 2p. В моя рисунка мащаб се обърна графика на функция Y = 0,15x 2.

Забележка: За да се изгради даден парабола в даден мащаб, което трябва да направите едни и същи неща, но в различен ред. Трябва да се започне с координатните оси. След това направи директорка и да определи позицията на фокуса на параболата. И едва след това изработи инструмент от полигона и линия. Например, за да се изгради на шахматно хартия парабола чиито уравнение у = х 2. внимание трябва да се поставят на разстояние от 0.5 клетки от направляващата.

Свойства на функция у = х 2

1. Домейнът на функцията - целия брой ред: D (е) = R = (-∞; ∞).
2. Поле стойности на функцията - положителния полу: E (F) = [0; ∞).
3. функция у = х 2 е още: F (-x) = (-x) 2 = х 2 = F (х).
   Y-оста е оста на симетрия на параболата.
4. Интервалът (-∞ 0) функцията намалява монотонно.
   В интервала (0 + ∞) функция нараства монотонно.
   
5. В точката х = 0 достигне минимална стойност.
   Точката с координати (0, 0) е на върха на параболата.
6. Функцията е непрекъсната по своя домейн.
7. Асимптотата не е.
8. Нули на: у = 0 за х = 0.

Свойствата на квадратна функция на общата форма.

1. Домейнът на функцията - целия брой ред: D (е) = R = (-∞; ∞).
2. Обхват на функцията зависи от знак на коефициента.
   Когато> 0 парабола клон насочена нагоре, функцията има минимална (ymin), но не притежава най-голямата стойност: E (F) = [ymin; ∞);
   с 2 + BX + в е нито дори нито странно.
   оста на симетрия на параболата е линия х = Ь / 2а.
   Функцията ще бъде още само в случаите, когато тази линия съвпада с оста Oy. т.е. когато б = 0.
3. Когато> 0 монотонно намалява функция в интервала (-∞; Ь / 2а) и монотонно увеличава на интервала (Ь / 2а; ∞).
   На 0 - минимум функция.

И двете стойности са определени от формула Y = - б 2 - 4ав _______. 4а

Въпросът е, координатите на върховете на параболата.

Функцията е непрекъсната по своя домейн.

Асимптотата не е.

Параболата пресича ординатата в точката (0 С).
Ако квадратен тричлен има deytsivtelnye корени x1 x2 ≠. параболата пресича оста х в точки (х1 0) и (х2 0).
Когато Х1 = Х2 отношение abstsics парабола ос в точката (х1 0).

Производното на квадратна функция се изчислява съгласно формулата (брадва 2 + BX + в) '= 2AX + б.

Графиката на квадратна функция дадени с общата формула, най-конструкт и изследването се използва преобразуване правила графики.
За тази цел, трябва първо да премине от формулата у = ос 2 + BX + С до форма, подходяща за трансформация, Y = М (+ KX л) 2 + п. където К, L, M, N - броят на които зависи от А, В, С. т.е. на ум
.
След вземем парабола Y = X 2 и прилага следната трансформация към него:

• Паралелно трансфер (изместване) в оригиналната парабола л = б / 2а единици от ляво (когато L 2 - 4ав) / 4a единици нагоре или надолу в зависимост от знака на п (ако п> 0 до).

Формулите за такъв преход могат да се научат наизуст, но можете да научите как да се разпределят пълния площад на трином даде коефициенти. Тази способност е много полезна и за решаването на някои уравнения и неравенства, за да се изчисли интеграли и т.н.

Разгледаме следния пример:
Нека у = 3x 2 - 5 х + 2
1) Комбинирайте с клин на първите два мандата и извадете коефициента на скоби на х 2.
2) В скоби размножават и разделете на две едновременно коефициента на х.
3) сравняване на формула биномно изграждането на квадрат: квадратните скоби имат по брой х. два пъти на продукта от х от фракция 5/6. За да се прилага тази формула липсва втори квадрат, така добавят липсващите термин е 5 2/6 2 и изважда в същото време, за да се запази първоначалната стойност на експресията.
4) Ние изключване на квадрат с формула и разкриват големи скоби.
5) Останалите цифри фракции представляват общ знаменател и допринасят.

Така че, за изграждане на графика на функция Y = 3x 2 - 5 х + 2 от графиката у = 2 х е да бъде последната стъпка на Ox оста вдясно от 5/6 ≈ 0,83 единици. След това се простират по протежение на оста Oy 3 пъти и накрая понижава с Oy ос на 1/12 ≈ 0.08 единици.
Виж какво се е случило.

Ако сте мой студент, или абонат. можете да работите с интерактивни версии на тези графики.

Упражнение:
Построява характерните точки на графика скица у = х 2.
метод превръщане ще получи скица графика на функция у = -x 2 + 4x + 6.
Виж, което посочва графиката на тази функция пресича оста Ox и сравнение координатите (абсцисата) от корените на уравнението 2 -x + 4x + 6 = 0. изчислява по дискриминантата. Колко точно е Оказа се, от уравнението на графичната си решение?

Превръщаме изразяването с пускането на точен квадрат:

Изграждане на графиката на функцията
.

За това използвайте следните стъпки: 2-клетъчна прав смени, намалете клонове (връх - точка, спрямо която се завъртя), повишаване на върха и, съответно, на цялата парабола до 10 клетки. Ето какво трябва да има

.

Визуално определяне на корените. Парабола пресича оста Ox с около една пета от клетките в ляво от минус един и със същите права като петимата, т.е. x1 ≈ -1,2. x2 ≈ 5,2.

Разтворът съгласно формулите за намиране на корените на квадратно уравнение дава отговори x1 = 2 - √10 __. х2 = 2 + √10 __.
Х1 калкулатор изчисляване = -1,162277660. Х2 = 5,162277660.

Парабола - много интересна крива, а квадратна функция е често срещан в описанието на различни природни явления, на икономическите процеси.

Графики на квадратна функция и коефициентите на квадратното тричлен.

Позицията и формата на парабола съгласно знака и стойността на коефициента и - коефициент на х 2.

Позицията и формата на парабола според знамението, и стойността на коефициента на б - коефициентът за х.

Позицията и формата на парабола съгласно знака и стойността на параметъра в.

Предизвикателства за анализ на графиката на квадратна функция.

Задачи като "Set кореспонденция между коефициентите на квадратното трином и графиките на квадратна функция" се намират в СЕГ математика в девети клас, както и необходимостта от връщане на изпит за 11 клас като междинен действие.