Keystone математика

Трапец - четириъгълник, който има точно една двойка срещуположни страни паралелно. Паралелни страни се наричат ​​основи на трапец. Другите две страни са наречени хълбоците. Сегмент свързваща средата на двете страни, се нарича средна линия на трапеца. Разстояние между базите наречени височина трапец. Трапец, които страни са наречени равностранен (или равнобедрен) линия, един от ъглите, които правата линия се нарича правоъгълна. Успоредни линии, пресичащи страни на ъгъла, отрязани от страни на ъгъла пропорционални сегменти. Имоти трапец:

• В равностранен трапец ъгли равни начала.
• В равностранен трапец диагоналите са равни.
• В средната линия на трапеца е собственост - това е успоредна на основите на трапец и е равна на половината на сбора от тях.
• Ако равнобедрен трапец, за това, че е възможно да се опише окръжност.
• Ако сумата на базата на трапеца е равна на сумата от двете страни, тогава е възможно да се впише в кръг.
• В средата на базите трапецовидни, точката на пресичане на диагоналите и страните трябва да продължи по същия ред.

Видове трапецовидна. Линии, успоредни на основата:

• средната линия
• Линията, преминаваща през точката на пресичане на диагоналите
• Линията, която разделя областта на трапеца на равни части

Трапец вписан в окръжност.

Акробатика описано по периферията.

Пример 1. По-малка основа на равнобедрен трапец е 6. 10. Височината на трапеца е равна на допирателната малък ъгъл, по-голямата основа 2. намери. Решение. BC = 6, BH = 10, TGA = 2. Извършване на допълнително строителство: направи втори височина CM. Помислете основата на трапец АД. Дължината му е сумата от дължините на сегментите: AD = AH + HM + MD. Имайте предвид, че тъй като равнобедрен трапец, на AVN = CMD (заедно хипотенузата и ъгъл) AH = MD. освен слънцето = ЗМ. Ние се обръщаме към използването на данни на проблема: AD = 2x + 6. където х - дължина на AH на сегмент. Тъй TGA = 2. След това (остроъгълен ъгъл триъгълник допирателна е съотношението на срещуположната част на крака към съседен крака). Следователно, х = 10/2 = 5. Накрая, ние получаваме AD = 2х + 6 = 16. Отговор: 16. Пример 2. В милиметрова хартия с трапецовидна показва размер клетки. Намери своята площ в квадратни сантиметра. Решение. Позовавайки се на Фиг. Трябва да се отбележи, че избраната област на фигурата може да се изрази като сума от площада на района (намира се в ляво) и правоъгълен триъгълник (намира се на дясно). А квадратни S = ​​а 2, където - дължина на страната на квадрат. Площта на правоъгълен триъгълник, където А и Б - краката на правоъгълен триъгълник. Обръщаме се към компютъра част от решението. , . Изхождайки от фигура А = 5 см и 4 см = Следователно, виж A. 35. Пример 3 В равнобедрен трапец основа 21 и 9 см, височина - 8 см .. Намерете радиуса на кръга. Решение. Начертайте перпендикуляра към базата на Данъчния кодекс. след това в центъра на окръжност O лежи на линията NC. AO = OB = R. о точка разделя сегмент на две части NC: Нека х = NO. след това OK = 8 - х. AO 2 = AC 2 + СО 2; OB = 2 BH 2 + HO 2. От 2 OA = OB 2. получи AK 2 + СО 2 = HV 2 + HO 2: R = 10625. Пример 4. Виж областта на равнобедрен трапец, описан за окръжност с радиус 4, ако е известно, че от страна на трапеца е равен на 10. разтвор.

Предвид: ABCD - равнобедрен трапец, г = 4, AB = 10 търсене: SABCD

1. AB = CD = 10 на състоянието.
2. AB + CD = AD + BC собственост на вписан кръг.
3. AD + BC = 10 + 10 = 20.
4. FE = 2г = 2 * 4 = 8.
5. SABCD = 1/2 (Британска Колумбия + AD) · FE, SABCD = 1/2 · 20 · 8 = 20/2 = 10 · 8 · 8 = 80.

Отговор: SABCD = 80. Пример 5 Основа трапец са 10 m и 31 m и страните - 20 m и 13 m височина Намерете трапец .. Решение. Нека HK = BC = 10 м, BH = СК = х. AH = у. след KD = 21 - у С Питагоровата теорема: х 2 + Y 2 = 132 х 2 + (21 - у) 2 = 20 2 х 2 + Y 2 = 169 (1) х 2 + 441 - 42y + Y 2 = 400 (2) се изважда от (2) уравнение (1): 441 - 42y = 231 42y = 210 у = 5 AH = 5 метра с Питагоровата теорема: BH 2 = AB 2 - AH 2 BH 2 = 132-52 BH 2 = 169 - 2 25 BH = 144 BH = 12: BH = 12. Пример 6 по-голяма основа на трапеца е 24. Търсене малка база дължина, ако разстоянието между центровете на диагоналите е 4. разтвор. Отговор: 16. Пример 7. Диагоналите AC и BD трапецовидни ABCD се пресичат в точка O. Намерете лицето на трапеца, ако BC Помислете за сходството на триъгълници. Площадите на засегнатите страни се третират като области на триъгълници. Въведете параметрите триъгълници базовата страна, а височината на триъгълници. Площ на трапец и триъгълник се определя от най-известните формули. Решение. Отговор: 18. Пример 8. трапец голямата основа на трапеца е равен на 10. диагоналите равни до 8, перпендикулярна на страните. Намерете лицето на трапец. Анализ.

Дължината на диагоналите са равни и перпендикулярна на страните. Имат еднакви правоъгълни триъгълници на катет и хипотенузата: АБД = ACD обаче равнобедрен трапец, т.е. AB = CD. Прилагаме Питагоровата теорема да се определи към страничните части на трапеца. Височината на трапеца се определят области на равенство. Проекцията на страната на по-голямата база по-лесно да се определи сходството на триъгълници от Питагоровата теорема. Дължината на разреза в равностранен трапец може да бъде определено като разликата между по-голямата основа на издатината и страна на основата. Площта на трапец намерите областта на правоъгълник, като AMSK, които получите, ако трябва да изпълни трапец.

Решение. A: 30.72. Пример 9. взаимно перпендикулярни диагонали на трапец и дължината му е равна на централната 9. намери дължината на отсечката, свързваща центъра на базите трапецовидни. Анализ.

Проблемът е решен строителство. Ние попълва клетки и използването на правоъгълник имота: правоъгълник диагоналите са равни и в точката на пресичане разделени на две. дължина средната линия равна на половината от сумата на дължините на бази. Дължината на сегмента свързваща средите на бази, е равна на половината от дължината на диагоналите на два триъгълника конструирани.

Решение. Отговор: 9. Пример 10. Дължините на базите трапецовидни са 1 и 7. търсене дължина на сегмента, успоредно на земята и затворено между странични лица, които разделя трапеца на две равни части. Анализ.

Извършване от връх на тъп ъгъл трапец права линия, успоредна на страна. Помислете за отношението на площта на трапеца. Определяне на съотношението на сходството на триъгълници. Рационални алгебрични трансформации водят до резултат.

Решение. A: 5. Пример 11. равнобедрен трапец ABCD е описано по периферията. Страната на трапеца е равно на 10, а основата е 1: 4. Намерете областта на трапец. Анализ.

Сума противоположните страни на трапец е равна на всяка друга - имот описано четириъгълник на. Равнобедрен трапец. Страната равна на централната линия на дължина. Прилагаме Питагоровата теорема да се намери височината на трапеца. Площта на трапец се определя от наличните формула.

Решение. Отговор: 80. Пример 12. Дължините на страните на трапеца са 6 и 10. Известно е, че в трапеца може да бъде вписан кръг и средната линия го разделя на части, области, които включват както 5: 11. намери дължината на по-голямата основа на трапеца. Анализ.

Акробатика е описано. Сумата от дължините на базите е сумата от страните. В средната линия разделя трапеца на две трапец, чиято височина е равна. Проблемът се свежда до система от уравнения. Дължината на разреза е равна на половината от сумата от дължините на страните.

Решение. Отговор: 14. Пример 13. Площта на равнобедрен трапец, кръг е описано по средната линия 15. търсене трапец ако косинус малък ъгъл в основата му е равна на 4/5. Анализ.

Равнобедрен трапец. Дължината на разреза е страна. Площта на трапец, се определя от произведението на средната линия на височината на трапеца. Пропуснете височината на трапеца на тъпият ъгъл. След предварително определено косинус на ъгъла се определя синуса на ъгъла. Според синуса на ъгъла експресират височината на трапец чрез страна.

Решение. A: 5. Пример 14 В правоъгълен трапец, кръга, описан около и основен странична стена е 13, а средната линия е 12.5. Намерете най-малка база на трапеца. Анализ.

Необходимо е да се използват от двете страни на собственост на правоъгълника окръжност около кръга: сумата от дължините на противоположни страни е равна на една от друга. Освен това, дължината на разреза е равна на половината от сумата от дължините на страните на бази. Ние черпим от горната част на тъпият ъгъл на височината на трапеца. Ние използваме Питагоровата теорема и определяне на проекцията на наклонената страна на основата.

Решение. Отговор: 10. Пример 15 В равнобедрен трапец, от които един ъгъл е 60 °, а площта е равна на вписан кръг. Намерете радиуса на този кръг. Анализ.

Важно положение, че трапец е равнобедрен и има ос на симетрия. Тогава дължината страна е равна на средната линия. Въвеждане на опцията страна на правоъгълен триъгълник по предварително определен ъгъл задайте височината на трапеца, което е диаметъра на вписан кръг. Площта на трапец се определя като произведение от средната линия на височината на трапеца.

Решение. Отговор: 3. Пример 16 трапец ABCD е вписан в окръжност. Откриване средната линия трапец, ако неговата голяма база AD е равна на 15, синуса на ъгъла BAC е равна на 1/3, АБД задължително на ъгъл, равен на 5/9. Анализ.

Trapeze може да се впише в кръг, ако той е равнобедрен. Дължината на всеки акорд се определя от задължително теорема.

Решение. Отговор: 12. Пример 17. Виж областта на равнобедрен трапец, чиято голяма основа е равна на 13, средната линия е равно на 8, и ъглополовящата на тъп ъгъл е диагонал на трапец. Анализ.

При осъществяване на ъглополовящата на тъпият ъгъл е по-голяма странична страна на основния трапец. Проекцията на страната на равнобедрен трапец е равна на половината от разликата на дължината на базите. От теоремата на Питагор намираме височината на трапеца. Площта на трапеца от формулата.

Решение. Отговор: 96. Пример 18. Страните АВ и CD трапец ABCD са 15 и 12, съответно. Откриване градуса ъгъл стойност D, ако един от основния трапец на 9-голяма от другата. Анализ.

От върха нарисувате права линия, успоредна на страна. Това трапец се разделя на по права линия на успоредник и триъгълник. Противоположните страни на успоредник са равни, това означава, че дължината на страната на триъгълника е равна на разликата на дължината на основата на трапец. Този триъгълник се определя от три страни. Според теоремата на уют определи желания ъгъл. Изчисленията показват, че страничната повърхност, перпендикулярна на основата, на желания ъгъл на линията.

Решение. Отговор: 90. полигони А изпъкнал многоъгълник се нарича редовно. ако той има всички страни са равни и всички ъгли са равни. Центърът на правилен многоъгълник е на равни разстояния от всичките му върхове и всички страни. Централен ъгъл на правилен многоъгълник е ъгълът, под който видимата страна на нейния център. Комбинирането затворен полигонална линия и нейната вътрешна зона се нарича многоъгълник. Сама по себе си начупена линия, наречена граница многоъгълник. и интериора му - вътрешността на зоната на многоъгълник. Линкове на границите на полигона се наричат ​​страни на многоъгълника. и върховете - върховете на многоъгълника. Сегмент свързване на две несъседни върховете на многоъгълника се нарича своя диагонал. А многоъгълник се нарича изпъкнала. ако тя е от едната страна на всеки ред го съдържа. Взаимоотношенията във полигони:

• Всички редовни полигони са подобни един на друг;
• сума на всички ъгли на изпъкнал многоъгълник е 180 ° (п-2);
• сума на външни ъгли всеки изпъкнал многоъгълник, взети по едно на всеки връх, равен на 360 °;
• периметри на подобни полигони са еднакви ръка, и това съотношение е равно на коефициента на сходство;
• области на други многоъгълници са квадратите на техните еднакви страни, и това съотношение е равно на квадрата на фактора на подобие.

Вписан и ограничена полигони вписан в окръжност на многоъгълник се нарича многоъгълник, чиито върхове лежат на кръга. Polygon окръжност около окръжност се нарича многоъгълник, чиито страни са до кръга. Polygon окръжност около окръжност, наречена кръга, минаваща през върховете. Вписана окръжност в многоъгълника се нарича окръжност допирателна на своите страни.