Как да проверите диференциация

5. диференцируемост

Определение 1. функция като производно в точка наречен диференцируема в тази точка.

2. Определяне диференцируема функция се нарича в обхвата, ако е диференцируема във всяка точка на интервала.

Например, функцията е диференцируема (т. Е. Има производно) навсякъде по този начин може да се нарече диференцируема в безкраен интервал т. Е. На цялата ос.

Ние доказваме следната теорема установява връзка между диференцируемост и непрекъснатост на функция.

Теорема. Ако функцията е диференцируема в точката, а след това от тази точка е непрекъснато.

Доказателство. Нека аргумента получава добавката за точка не е нула. Тя отговаря на вариант на функцията. Помислете за очевидни идентичност. Минавайки до краен предел, получаваме:

което предполага, съгласно претенция. 2, непрекъснатостта на точката

Обратното теорема не е вярно: има непрекъснатост, които на някои места не е диференцируема. За да видите това, помислете функцията

Въпросът е непрекъснат, като

Ние показваме, че функцията не е производно от самото начало, ние се отбележи, че в точката

Право на нула. следователно

Вляво от нула. следователно

Така, съотношението на дясно и ляво имат различни граници, което означава, че ограничението не е в съотношение, г. Е. производно на мястото не съществува.

Помислете още един пример. Функцията е непрекъсната по цялата реална ос и, в частност, когато ние показваме, че при тази функция не е производно. В действителност, в нарастването на аргумента съответства на нарастване на функцията

Минавайки до краен предел,

Това означава, че функцията на мястото не производно.